3. Биматричные игры.

В своей работе я подробно разберу ситуации, в которых интересы игроков не совпадают, но и не являются противоположными.

Рассмотрим, например, конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей ли­нии поведения –

игрок А может выбрать любую из стратегий A₁,…,A_m,

игрок В может выбрать любую из стратегий B₁,…,B_n.

При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне оп­ределенно: если игрок A выбрал i-ю стратегию А₁, а игрок В — k-ю стра­тегию B_k, то выигрыш игрока А равен некоторому числу a_ik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу b_ik.

Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока B мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы

B1

…

Bk

…

Bn

B1

…

Bk

…

Bn

A1

a11

…

a1k

…

a1n

A1

b11

…

b1k

…

b1n

…

…

….

…

…

…

…

…

….

…

…

…

Ai

ai1

…

aik

…

ain

Ai

bi1

…

bik

…

bin

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Am

am1

…

amk

…

amn

Am

bm1

…

bmk

…

bmn

Первая из таблиц описывает выигрыши игрока А, вторая — выигрыши игрока B. Обычно эти таблицы записывают в виде матриц

,

Здесь А — платежная матрица игрока А, а В — платежная матрица игрока В.

При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В — k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-x строк и k-х столбцов: в матрице А это элемент a_ik , а в матрице В — элемент b_ik.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна — матрица выплат игроку А, другая — матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре, — биматричная.

Замечание, Рассматриваемые ранее матричные игры можно рассмат­ривать, разумеется, и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат игроку А:

или

.

Однако в общем случае биматричная игра — это игра с ненулевой суммой.

Тем не менее, нам кажется разумным время от времени сопоставлять наши рассмотрения с рассуждениями, проведенными ранее для матричных игр (особенно при попытках разрешения схожих проблем). Подобные сопоставления нередко оказываются одновременно и удобными и полезными. Конечно, класс биматричных игр значитель­но шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличи­ваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.

Существует ещё и алгебраическое представление биматричной игры:

Задача нахождения ситуаций равновесия бескоалиционной игры Г формата (m₁,…m_n) фактически состоит в решении системы m₁ + . .. … + m_n неравенств вида с m₁,…,m_n ограничениями неотрицатель­ности и n ограничениями нормирования. Математически это сложно и громоздко. Лишь для отдельных сравнительно простых классов беско­алиционных игр ход решения этой задачи поддается элементарному описанию.

Именно одним из таких классов являются конечные бескоалиционные игры⁶ двух лиц. Пусть в такой игре игрок 1 имеет m чистых стратегий, а игрок 2 — n стратегий, и в каждой ситуации (i,j) игрок 1 получает выиг­рыш a_ij , а игрок 2 — выигрыш b_ij. Тогда значения обеих функций выиг­рыша игроков естественно расположить в виде пары матриц:

Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с матри­цами выигрышей А и В обозначается через Г (А , В) или через Г_{А ,В}.

Смешанные стратегии⁷ в биматричных играх, как и в матричных иг­рах, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный симплекс. Если X и Y — соответственно векторы, описывающие смешанные стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть,

H₁(X,Y)=XAY^T, H₂(X,Y) = XBY^T.

Определение ситуации равновесия⁸ для случая биматричной игры приоб­ретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если

(1)

(2)

Очевидно, при В = -A биматричная игра превращается в матричную, а соотношения (1) и (2) – соответственно в

(3)

Последнее неравенство равносильно XAY^T и XА_j , что вместе с (3) дает нам известное определение седловой точки⁹ в матричной игре.