7.1. «Семейный спор»

Два экономических партнера (игроки 1 и 2) договариваются о совместном проведении одного из двух действий, D₁ или D₂ , каждое из которых требует совместного участия обоих партнеров.

В случае совместного осуществления действия D₁ игрок 1 получает одну единицу полезности, а игрок 2 – две единицы. Наоборот, в случае совместного осуществления D₂ игрок 1 получает две единицы, а игрок 2 – лишь одну. Наконец, если игроки выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них равен нулю.

D₁ D₂ D₁ D₂

Решение данной биматричной игры в соответствии со сказанным выше¹⁶ дает нам С=3, α=2, η^*= 2/3. Поэтому ситуации, приемлемые для игрока 1, составляют зигзаг, охватывающий следующие точки:

(0,η) , где 0≤η≤⅔

(ξ, ⅔) , где ξ произвольно

(1,η) , где ⅔≤η≤1

Аналогично, D = 3, β= 1, ξ* = 1/3. Поэтому приемлемыми для игрока 2 будут ситуации

(ξ,0), где 0≤ξ≤1/3,

(1/3,η), где η произвольно,

(ξ,1), где 1/3≤ξ≤1.

Как видно из рис. 4, данная игра имеет три ситуации равновесия: (0,0), (1,1), (1/3,2/3).

Рисунок 4

Здесь ситуации (0,0) и (1,1) соответствуют одновременному выбору игроками своих вторых или, соответственно, первых чистых страте­гий, т.е. договоренности о достоверных совместных действиях. Обычно так и понимаются всякого рода договоры.

Однако в нашем случае имеется еще третья ситуация равновесия, состоя­щая в выборе игроками некоторых вполне определенных смешанных стра­тегий. Формально ее можно считать основой возможного договора в не меньшей степени, чем первые две. Она даже «более справедлива», чем они, поскольку в ней оба игрока получают одинаковые выигрыши:

(1/3,2/3) А (2/3,1/3) ^T = (1/3, 2/3) В (-2/3, 1/3) ^T = 2/3.

Вместе с тем выигрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия меньше, чем в двух других ситуациях равновесия, где они соответственно равны 1 и 2 в первой ситуации и 2 и 1 — во второй.

Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в противоре­чие с сочетанием устойчивости и выгодности.

Ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем, первую чистую стратегию, причем игрок 2 за получение большего выигрыша, чем игрок 1, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно было бы считать и выгодным, и справедливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются. Они изуча­ются в кооперативной теории игр.

Очевидно, проведенный анализ биматричной игры «семейный спор» с матрицами выигрыша

приложим и к более общим бимат­ричным играм, и в том числе к играм Г (A, В) с матрицами выигрышей

, B=

При этом,очевидно, в каждой такой игре будут три ситуации равновесия: две в чистых стратегиях¹⁷, соответственно с выигрышами игроков а и с или b и d, и одна – в смешанных (ξ *, η *), где ξ * = d/(c + d), η* = b\(а + b).

Отметим, однако, специально тот частный случай, когда А = В, т.е. a = с и b=d. Тогда в игре Г(A, В) интересы игроков полностью совпада­ют. Тем не менее теоретико-игровая природа этого явления сохраняется; в такой игре по-прежнему имеются три ситуации равновесия: две в чистых стратегиях и одна — в смешанных.

Ясно, что при а > b оптимальная по Парето¹⁸ ситуация равновесия будет состоять из первых чистых стратегий игроков, а при а < b – из их вторых чистых стратегий. Тем самым для игр такого рода представля­ется естественным выбор игроками стратегий, уверенно дающих им наи­большие выигрыши. Соответствующую ситуацию равновесия здесь можно уже рассматривать не только как устойчивый вариант договора между игроками, но даже как результат их независимых самостоятельных действий.

Менее тривиальным оказывается положение дел, когда а=b. В этом случае игрок 1 при выборе им своей первой чистой стратегии не может быть уверен в выборе игроком 2 также первой чистой стратегии: тот может с такими же основаниями выбрать и вторую стратегию. Таким образом, здесь из всех мотивов действия остается лишь «антагонизм поведения», и разумным для игрока 1 оказывается выбор им смешанной стратегии (для которой здесь ξ = 1/2).