6. Решение биматричных игр

Иногда анализ 2 X 2-матричных игр проводится путем составления точного описания множеств ситуаций, приемлемых для каждо- го из игроков (это описание проводится на геометрическом языке, но, очевидно, может быть представлено и в чисто алгебраическом виде), и нахождения пересечения этих двух множеств. В принципе этот способ описа- ния ситуаций равновесия может быть применен и к матрич- ным играм произвольного формата. Однако он пока еще не нашел достаточ- но наглядных средств выражения, которые сделали бы его конкурентоспо- собным среди других методов анализа матричных игр.

Вместе с тем, как мы сейчас увидим, применение способа описа- ния ситуаций равновесия к анализу биматричных игр и даже к нахождению их решений, правда, весьма неэффективному, представляется вполне целесообразным.

Пусть Г=Г(А,В)- m x n биматричная игра с матрицами выигрышей игроков:

(6)

Множество ζ₁(Г) всех ситуаций, приемлемых для игрока 1 в этой игре, состоит из всех ситуаций (X, У), для которых выполняется система неравенств:

(7)

Далее я буду рассматри­вать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии¹² X.

Пусть . Тогда в (7) для по свойству до­полняющей нежесткости¹³ должно выполняться точное равен­ство. Отсюда следует, что для любых двух смешанных стратегий X’ и Х'' обладающих одним и тем же спектром и дающих в паре с одной и той же стратегией Y приемлемые ситуации , должно быть X'AY^T = X»AY^T.

Таким образом, на множестве X(s_x) всех стратегий игрока 1 со спект­ром s_x величина ХАY^T не зависит от X.

Этот факт является для дальнейшего решающим.

Во-первых, из него следует, что вместе с любой приемлемой для игрока 1 ситуацией (X,Y) таковой же является любая ситуация (X’, F), где , т.е. ситуации входят (или не входят) в ζ(Г) целыми «блока­ми» вида (X(s), Y).

Во-вторых, отсюда же следует, что на X(s_Х) выражение ХАY^Т представ­ляет собой единую линейную форму от Y, и на X(s_x) система (7) ока­зывается системой именно линейных (а не билинейных) неравенств, и множество ее решений составляет выпуклый многогранник, который зави­сит опять-таки не от конкретной стратегии X, и лишь от ее спектра s_x = s. Обозначим этот многогранник через ζ(s).

Попутно обратим внимание на то, что каждый из таких многогранников ζ(s) зависит только от матрицы А (и не зависит от матрицы В ). Значит, ситуации входят (или не входят) в ζ₁(Г) целыми произведе­ниями X(s) х ζ₁(s). Иными словами,

Очевидно, число произведений в этом объединении не может превосходить 2^m — 1 (s может быть любым непустым подмножеством х), а множество ζ₁ ( Г ) зависит только от матрицы А. В силу тех же причин

где Y(t) — множество стратегий игрока 2, имеющих данный спектр t, а ζ₂(t) - множество решений X системы неравенств

(8)

где supp Y = t (как и выше, решение зависит здесь не от самой стратегии у, а лишь от ее спектра). Здесь в объединение входит не более 2ⁿ — 1 произве­дений. Множество ζ₂ (Г) определяется только матрицей В.

Окончательно мы получаем

(9)

При любом нахождение многогранника ζ₁(s) состоит в решении системы линейных неравенств, т.е. в выполнении конечного числа рациональных (арифметических) операций над элементами матрицы А. Точно так же выполнением конечного числа рациональных операций над элементами матрицы В может быть найдено множество ζ₂(t) при любом .

Следовательно, таким же конечно-рациональным путем находится каж­дое из пересечений и , и потому, в силу отмечен­ной конечности множества вариантов для спектров s и t и согласно форму­ле (9), - и все множество ζ(Г).

Хотя при сколько-нибудь больших значениях чисел m и n описанная процедура нахождения приемлемых (а по ним – и равновесных) ситуаций в биматричной игре является весьма громоздкой, при m = n = 2 для спектров стратегий каждого игрока оказывается не более трех вариантов, и приве­денный способ представляется реально выполнимым геометрически. Мы займемся этим в следующей части.