Параметры закона распределения

Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случай-ную величину с вероятностной точки зрения. Однако на практике часто нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, достаточно указать отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распре-деления случайной величины, например, какое–то среднее значе-ние, какое–либо число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего.

Основной характеристикой случайной величины является мате-матическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случай-ную величину , принимающую значения с вероят-ностями, соответственно, . Для того чтобы охаракте-ризовать каким–то числом положение значения случайной величи-ны на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различ-ные вероятности, удобно воспользоваться так называемым “сред-ним взвешенным” из значений , причем каждое значение при осреднении должно учитываться с “весом”, пропорциональным ве-роятности этого значения. Вычисленное среднее значение бу-дет называться математическим ожиданием случайной величины :

(1.10)

Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений слу-чайной величины равна единице ( ), если события несов-местные, то математическое ожидание рассчитывается по формуле:

(1.11)

Итак, математическим ожиданием называется сумма произведе-ний всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Для непрерывных случайных величин математи-ческое ожидание определяется по формуле:

(1.12)

Математическое ожидание случайной величины относится к так называемым начальным моментам случайной величины, характе-ризующим положение случайной величины. Начальным моментом -го порядка случайной величины называется сумма вида:

(1.13)

для дискретных случайных величин; и

(1.14)

для непрерывных случайных величин.

Таким образом, математическое ожидание является начальным моментом первого порядка или первым начальным моментом. Оче-видна физическая интерпретация математического ожидания: если на оси в точках располагаются массы , то первый начальный момент определит положение центра масс на оси . Для пространственного случая будет определено положение центра масс в пространстве относительно точки начала отсчета.

Пользуясь определением математического ожидания, можно дать следующее определение начального момента: начальным мо-ментом -го порядка случайной величины называется математи-ческое ожидание -й степени этой случайной величины:

(1.15)

Другими важными характеристиками распределения случайной величины являются так называемые центральные моменты.

Назовем отклонением (или флуктуацией) случайной величи-ны разность между значением случайной величины и ее матема-тическим ожиданием:

(1.16)

Другое название флуктуации случайной величины – это цен-трированная случайная величина, соответствующая величине . Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в точку, координата которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они равносильны моментам относитель-но центра масс в механике.

Таким образом, центральным моментом –го порядка случай-ной величины называется математическое ожидание –й степе-ни соответствующей центрированной величины:

(1.17)

Для дискретной случайной величины –й центральный момент выражается суммой:

, (1.18)

а для непрерывной- интегралом:

(1.19)

Для любой случайной величины первый центральный момент равен нулю:

, (1.20)

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Большое значение для характеристики распределения случайной величины имеет второй центральный момент, называемый диспер-сией случайной величины, который представляет собой мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:

(1.21)

для дискретных случайных величин;

(1.22)

для непрерывных случайных величин.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние значе-ний случайной величины относительно математического ожидания. Механическая интерпретация второго центрального момента (дис-персии) – это момент инерции тела относительно центра масс.

Для наглядной характеристики рассеивания случайной величи-ны удобней пользоваться величиной, размерность которой совпада-ет с размерностью самой случайной величины. Для этого из дис-персии извлекают квадратный корень, и полученная величина но-сит название среднего квадратичного отклонения случайной вели-чины :

(1.23)

Для характеристики асимметрии распределения используют тре-тий центральный момент, он имеет размерность куба случайной ве-личины; чтобы получить безразмерную величину, его делят на куб среднего квадратичного отклонения :

(1.24)

Полученная величина называется коэффициентом асимметрии или просто асимметрией.

Четвертый центральный момент характеризует остро- или плос-ковершинность распределения. Соответствующий коэффициент на-зывается эксцессом и рассчитывается как

(1.25)

Число 3 вычитается потому, что для самого распространенного в природе нормального закона, который мы рассмотрим позже, от-ношение . Таким образом, для нормального закона эксцесс равен нулю; более островершинные законы будут иметь положи-тельный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.