Функция и плотность распределения

Для количественной характеристики распределения вероят-ностей удобней пользоваться не вероятностью того события, что случайная величина примет значение ,т.е. , а ве-роятностью события , т.е. того, что случайная величина примет значение, меньшее некоторой текущей переменной . Вероятность этого события зависит от значения , т.е. является функцией от . Эта функция называется функцией распределения

случайной величины и обозначается :

(1.6)

Функция распределения случайной величины  самая универ-сальная характеристика случайной величины, она существует как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Функ-ция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Функции распределения обладают некоторыми об-щими свойствами:

1. Функция распределения есть неубывающая функция сво-его аргумента, т.е. при выполняется .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини-це: .

Г рафик функции распределения в общем случае может быть представлен как график неубывающей функции (рис.1), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точ-ках функция может иметь скачки (разрывы).

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Поскольку для непрерывной случайной величи-ны вероятность принятия случайной величиной любого отдельного значения равна нулю, то вычислим вероятность попадания этой

случайной величины на участок от до :

(1.7)

Вероятность попадания в указанный интервал рассчитывается как приращение функции распределения на этом участке. Рассмот-рим отношение этой вероятности к величине интервала, т.е. сред-нюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участ-ке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производ-ную от функции распределения:

(1.8)

Введем обозначение для производной от функции распределе-ния:

(1.9)

Ф ункция характеризует как бы плотность, с которой рас-пределяется значение случайной величины в данной точке (а на самом деле отражает быстроту возрастания функции распределе-ния). Функция называется плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . В отличие от функции распределения, плотность распределения не является универсальной – она существует только для непрерывных величин. Кривая, изображающая плотность распределения случай-ной величины, называется кривой распределения (рис.2).

Геометрически вероятность попадания величины в участок равна площади кривой распределения,опирающейся на этот участок. Значение же функции распределения есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащей левее точки .

Для дискретных величин аналогом графика распределения может служить гистограмма, отображающая величину прироста функции распределения (рис.3).

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: . Это свойство вытекает непосредственно из того, что есть функция неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен единице: (условие нормировки). Условие говорит о том, что вероятность принятия случайной величиной какого–ли-бо значения равна единице.