3. Ряды фурье

Функциональный ряд (1)

называется тригонометрическим рядом; , и ( ) – коэффициенты тригонометрического ряда.

Если ряд сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т.к. и являются периодическими с периодом .

Таким образом .

Задача. Дана функция периодическая с периодом . При каких условиях для можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции?

Коэффициенты ряда Фурье

Периодическая с периодом функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции на интервале , т.е.

. (2)Коэффициенты , , равны

; (3) ; (4) . (5)

Примеры разложения функций в ряд Фурье

Пример 1. Периодическая функция с периодом определяется следующим образом:

, .

Эта функция кусочно-линейная и ограничена (рис. 1). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье

Рисунок 1

По формуле (3) .

Применяя (4) и интегрируя по частям, найдем:

.

По (5) находим .

Таким образом, получаем ряд .

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т.е. нулю.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Если - четная функция, то .

Если - нечетная функция, то .

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция , то произведение есть нечетная функция, а - четная, следовательно:

()

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит “только синусы”.

Аналогично для четной :

()

т.е. ряд Фурье содержит “только косинусы”.

Ряд Фурье с периодом

Пусть есть периодическая функция с периодом , вообще говоря отличным от . Разложим ее в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле: .

Тогда функция будет периодической функцией с периодом .

Формулы для коэффициентов имеют вид:

; ; .

Тогда .

Все, что справедливо для рядов Фурье с периодом , справедливо и для рядов с периодом .

О разложении в ряд Фурье непериодических функци

Пусть на некотором отрезке задана кусочно монотонная функция (рис.8). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим периодическую кусочно-монотонную функцию с периодом , совпадающую с функцией на отрезке .

Рисунок 8

Разложим в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией , т.е. мы разложили функцию в ряд Фурье на отрезке .

Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция задана на отрезке . Дополняя определение этой функции произвольным отрезком на отрезке (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение этой функции тем, чтобы при было в результате получится четная функция (рис. 9).

Рисунок 9 Рисунок 10

В этом случае говорят, что функция “продолжается четным образом”. Эту функцию разлагают в ряд Фурье, который содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке функцию мы разложили по косинусам.

Если же мы продолжим определение функции при так: , то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам (рис. 10), т.е. функция “продолжается нечетным образом”. Таким образом, если на отрезке задана некоторая кусочно монотонная функция , то ее можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.

4. Случайный процесс как модель сигнала.

Единственная то что определяемая во времени функция не может служить математической моделью сигнала при получении, передачи и преобразовании информации. Поскольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, однозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества возможных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется служебный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.

Необходимо учитывать воздействие на полезный сигнал помех, которые по своей природе случайны. Математическая модель помехи представляется также в виде случайного процесса, параметры которого определяются экспериментально. Вероятностные свойства помехи, как правило, отличны от свойств полезного сигнала, что и лежит в основе методов их разделения.

Справка. Под случайным процессом (стохастическим) подразумевают такую случайную функцию времени U(t), значение которой в каждый момент времени случайны. Конкретный вид U(t) называют реализацией случайного процесса. Точно ее предсказать невозможно. Можно лишь определить статистические данные, характеризующие все множество конкретных реализаций, называемое ансамблем.

Основными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются: пространство состояний, временной параметр и статистические зависимости между случайными величинами U(t_i) в разные моменты времени t_i.

Пространство состояний называют множество возможных значений случайной величины U(t_i). Случайный процесс, у которого множество состояний составляет континуум, а изменение состояний возможны в любые моменты времени, называют непрерывным случайным процессом.

Если же изменения состояний допускаются лишь в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайный процесс с конечным множеством состояний, которые могут изменяться в произвольные моменты времени, называют дискретным случайным процессом. Если же изменения состояний возможны только в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

Примеры реализации указанных случайных процессов представлены на рис. 3.

В настоящее время чаще имеют дело с дискретными случайными последовательностями.

Среди случайных процессов с дискретным множеством состояний нас будут интересовать такие, у которых статистические зависимости распространяются на ограниченное число k следующих друг за другом значений. Они называются обобщенными Марковскими процессами k-го порядка.

5. Модуляция. Типы модуляции.