12. Сформулировать теоремы Ролля и Коши. Геометрический смысл теоремы Ролля.

(Теорема Ролля) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c  (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 118.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с  (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX (рис. 1).

 (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. x  (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c  (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) g(b) − g(a)    =   f '(c) g '(c)    .

(3)

 

Формула (3) называется формулой Коши.

13. Теорема Лагранжа. Ее геометрический смысл. Сформулировать следствия из теоремы Лагранжа.

(Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с  (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .

(1)

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 119.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

 

f(b) − f(a) b − a    = f '(c) .

(2)

 

Число  

f(b) − f(a)

b − a

   есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (a, f(a) ) и (b, f(b) ), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке (c, f(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с  (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

Следствие 1.      Пусть f(x) - непрерывна на  [a;b] ,диф-ма на (a;b) и в каждой точке интервала её производная равна нулю, то f(x) - const. 

Следствие 2.

     Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a;b] и диф-мы на (a;b), и пусть на (a;b) :

f '(x)=g '(x),следовательно f(x) = g(x) +c;

Следствие 3.                 Пусть f(x) и g(x) непрерывны на [a;b] и диф-мы на (a;b), то если f(a)>=g(a) и для любого x, принадлежащнего(a;b) f ' (x)>=g'(x), следовательно для любого x ,принадлежащего (a;b], f(x)>=g(x).

         Замечание:если одно из исходных неравенств строго, то f(x) >g(x).

14. Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа   или  .  Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если   и  , то  ;

• Если   и  , то аналогично  .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения