- •Системы счисления
- •Урок 2. Таблицы истинности. Логические схемы
- •III. Изложение нового материала
- •1. Таблицы истинности
- •Урок 3. Логические законы и правила преобразования логических выражений
- •5.5. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф) и совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)
- •5.5.1. Алгоритм образования сднф по таблице истинности
- •5.5.2. Алгоритм образования скнф по таблице истинности
- •3. Построение логических схем
Системы счисления
Система счисления задает правила записи чисел. Из истории известно много примеров использования разных систем счисления или нумерации. Все виды нумерации можно разделить на две группы: непозиционные и позиционные. В позиционной системе вклад каждой цифры в число зависит от позиции (разряда), в которой эта цифра находится. Количество разных цифр, которые можно использовать для записи чисел в позиционной системе, называется основанием системы счисления.
Величину любого числа, заданного в позиционной системе счисления с основанием p, можно представить в виде полинома относительно p
,
где – отдельные цифры заданного числа, для которых выполняется условие Если , то для записи можно использовать десятичные цифры. Например, При возрастании p приходится добавлять специальные знаки, обозначающие величины больше 9:
Перевод чисел из системы с основанием p в систему с основанием 10. Если вычислить значение полинома по правилам десятичной арифметики, то получится величина того же числа в десятичной системе счисления.
Например, 3415 = 3*52 + 4*5 +1 = 3*25 + 20 + 1 = 9610;
5А916 = 5*162 + А*16 + 9 = 5*256 + 10*16 + 9 = 1449.
Ниже приведена таблица соответствия для 8- и 16-ричной систем счисления:
Группа двоичных разрядов |
8-ричная цифра (число) |
16-ричная цифра |
Десятичное число |
0000 |
0 |
0 |
0 |
0001 |
1 |
1 |
1 |
0010 |
2 |
2 |
2 |
0011 |
3 |
3 |
3 |
0100 |
4 |
4 |
4 |
0101 |
5 |
5 |
5 |
0110 |
6 |
6 |
6 |
0111 |
7 |
7 |
7 |
1000 |
10 |
8 |
8 |
1001 |
11 |
9 |
9 |
1010 |
12 |
A |
10 |
1011 |
13 |
B |
11 |
1100 |
14 |
C |
12 |
1101 |
15 |
D |
13 |
1110 |
16 |
E |
14 |
1111 |
17 |
F |
15 |
Основы алгебры логики. Логические выражения и операции
Логика - наука, изучающая методы установления истинности или ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других высказываний (утверждений). Логика изучает методы доказательств и опровержений. Логика составляет основу всякого управления, в том числе технологическими процессами.
Математическая логика - современная форма логики, опирающаяся на формальные математические методы.
Основные объекты логики - высказывания, то есть предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Существуют два подхода установления истинности высказываний: эмпирический (опытный) и логический. При эмпирическом подходе истинность высказываний устанавливается на основе наблюдений, экспериментов, документов и других фактов. При логическом подходе истинность высказываний доказывается на основе истинности других высказываний, то есть чисто формально, на основе рассуждений без обращения к фактам.
Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.
Можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.
Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение – латинская буква (например, A,B,X,Y и т. д). значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (0 и 1).
Составное высказывание – логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение – F(A,B,…).
На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.
Логические операции – логические действия.
Для логических данных используют специальные операции, которые тоже называются логическими. В выражениях эти операции могут обозначаться разными способами.
Название операции |
Альтернативные названия |
Знаки |
Примеры |
Конъюнкция |
Логическое умножение, Логическое И |
Λ & and |
A Λ B A & B A and B |
Дизъюнкция |
Логическое сложение, Логическое ИЛИ |
V | or |
A V B A | B A or B |
Отрицание |
Инверсия |
¬ not |
¬A
not A |
Следование |
Импликация |
→ |
A →B |
Эквивалентность |
Тождество |
≡ |
A ≡ B |
Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА. При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:
1) действия в скобках;
2) инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.
Рассмотрим три базовые логические операции – конъюнкцию, дизъюнкцию, и отрицание и дополнительные – импликацию и эквивалентность.
Логическая операция |
Название |
Соответствует союзу |
Обозначение знаками |
Таблица истинности |
Логическая операция |
|||||||||||||||
Инверсия (от лат. inversion – переворачиваю) |
отрицание |
не А |
|
|
Опр. Инверсия логической переменной истина, если переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна. |
|||||||||||||||
Конъюнкция (от лат. conjunction – связываю) |
Логическое умножение |
А и В |
|
|
Опр.Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания, истинны. |
|||||||||||||||
Дизъюнкция (от лат. disjunction – различаю) |
Логическое сложение |
А или В |
|
|
Опр. Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. |
|||||||||||||||
Импликация (от лат. implication – тесно связывать) |
Логическое следование |
Если А, то В; Когда А, тогда В |
А–условие В-следствие |
|
Опр. Импликация двух логических переменных ложна тогда и только тогда, когда из истинного основания следует ложное следствие. |
|||||||||||||||
Эквивалентность (от лат. equivalents - равноценность) |
Логическое равенство |
А тогда и только тогда, когда В |
|
|
Опр. Эквивалентность двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны |