Можливі варіації системи диференційних рівнянь на практиці.

В теорії електромагнітних перехідних процесів та моделювання складних систем електроприводу розглядають три конкретні координатні системи для запису рівнянь електричної рівноваги які є частинними випадками узагальненої системи U,V,0.

Перша система – нерухома відносно ротора. Це означає, що для _к=  це буде система d,q,0. Ця система використовується в основному для моделювання перехідних процесів в синхронних явнополюсних двигунах. Для АД вона використовується тоді, коли фази ротора будуть несиметричними. Ця система записується наступним чином:

=U_d1-_s^₀_d1+_s^₀K_r_d2+_K_q1

= U_q1-_s^₀_q1+_s^₀K_r_q2-_K_d1

= U_d2-_r^₀_d2+_r^₀K_S_d1-(_K-)_q2

= U_q2-_r^₀_q2+_r^₀K_S_q1-(_K-)_d2

Друга система координатних осей має швидкість обертання _к= ₀ (x,y,0). Особливості запису системи:

1. вісь U міняється на x,

2. вісь V міняється на y

3. кругова частота осей _к замінюється на ₀

4. кількість складових в диференційному рівнянні не змінюється.

Оскільки система осей нерухома відносно поля, то вона використовується в основному для аналізу перехідного процесу та створення регулюючих пристроїв векторного керування (частотного) для АД короткозамкненим ротором. Для цієї системи характерно, що напруги живлення обох фаз x₁ та y₁ (позначаються U_x1= U_xs , U_y1= U_ys) не залежать від часу, а дорівнюють амплітуді живильної напруги.

Для того, щоб довести це твердження виконаємо наступні процедури:

U_A=U_msin₀t

U_B=U_msin(₀t-120^o)

U_C=U_msin(₀t+120^o)

Перейдемо від трифазної машини до еквівалентної двофазною зі швидкістю обертання осей фаз _к, тобто виконаємо прямі перетворення від системи а,в,с до системи U,V,0.

U_U1= U_msin₀tcos_kt+sin(₀t-120^o)cos(_kt-120^o)+

+ sin(₀t+120^o)cos(_kt+120^o)

Згідно з законами тригонометрії:

sin₀tcos_kt+sin(₀t-120^o)cos(_kt-120^o) + sin(₀t+120^o)cos(_kt+120^o)=

= cos(_k-₀ )t

U_U1= U_m cos(_k-₀ )t= U_m

Для осі V:

U_V1= U_y1= U_yS= U_m

Висновок: як видно з наведених перетворень в системі x,y,0 фази живляться постійною напругою , величина якої дорівнює амплітуді реальної мережі живлення.

Третя система координатних осей (система ,,0). Якщо в узагальненій системі координат U,V,0 покласти _k=0 інколи ця система зветься неперетворена.

Умовні позначення в системі ,,0:

U_1= U_S U_1= U_S

і_1= і_S і_1= і_S

Характерна особливість цієї координатної системи: струм фази ( і_S) буде дорівнювати струмові реальної фази А:

і_S=і_А

Загальний висновок:

Вибір координатної системи для аналізу перехідних процесів машин змінного струму залежить від умов конкретної задачі (симетричні або несиметричні схеми, необхідність мати реальні фазні струми , наявність різного роду регуляторів в колах статора).

Комплексна система рівнянь узагальненої машини

Дуже часто для аналізу перехідних процесів диференційні рівняння АД записують в комплексному вигляді, тобто як комплексні вектори. Для цього вводимо нові змінні, завдяки яким суттєво скорочується кількість рівнянь та спрощуються самі рівняння . Ці змінні мають вигляд:

_U1+j_V1

Це означає, що комплексна вісь +1 співпадає з віссю U машини, а комплексна вісь +j співпадає з віссю V.

Для інших величин маємо аналогічні записи:

і_U1+jі_V1

U_U1+jU_V1

_U2+j_V2

і_U2+jі_V2

U_U2+jU_V2

Індекс “1”-для статорних величин, “2”-для роторних величин.

В цих комплексах дійсна частина може бути змінна по осі U або по осі  чи d. Уявна частина- це змінні по осі V, або , або q.

Для одержання системи рівнянь машини в комплексному вигляді виконаємо наступні процедури: для статора – помножимо друге рівняння на +j і складемо це рівняння з першим:

D_U1 =U_U1-_s^₀_U1+_s^₀K_r_U2+_K_V1

j D_V1 = j U_V1- j _s^₀_V1+ j _s^₀K_r_V2- j _K_U1

Після складання та введення нових змінних маємо:

D(_U1+ j _V1)= D =( U_U1+ j U_V1)- _s^₀(_U1+ j _V1)+ _s^₀K_r(_U2+ j _V2)-

-j _K(_U1+ j _V1)

Після заміни змінних маємо:

D = _s^₀ +_s^₀K_r -j _K

=U_m1e^je^j(

Остаточно маємо:

D = U_m1e^je^j( -(_s^₀+j _K) +_s^₀K_r

Для ротора виконаємо аналогічні перетворення, вважаючи на те, що напруга ротора дорівнює 0.

Після перетворень маємо:

D =_r^₀K_S -[_r^₀+ j(_K-)]

Для запису рівнянь моментів в комплексному вигляді запишемо змінні складові формули моменту _U1, _V1, _U2, _V2 через введені комплекси, а саме:

_U2= - j _V2

_V1= -j _U1

j _V2= - _U2

_V2=j - j_U2

Якщо підставимо одержані комплекси в формулу моменту і виконаємо перемноження ,а саме: _U2 _V1, _V2 _U1, то будемо мати:

j _U1 -j +_V2_U1- j _U2 -j +_V1_U2+_V1 =_U1_V2-_V1_U2+

+j(_U1 -_U2 )+ _V2+ _V1

(_V1_U2-_U1_V2)2= _V2+ _V1+j(_U1 -_U2 )

(_V1_U2-_U1_V2)

Після підстановки в формулу моменту різниці добутків потокозчеплень, остаточно маємо:

m( )

Висновок:

Перетворена система диференційних рівнянь в комплексному вигляді значно простіша, ніж система рівнянь в реальних фазних координатах. В ній немає періодичних коефіцієнтів і записана вона відносно потокозчеплень, тобто, дослідження в цьому випадку значно спрощуються.

Якщо виникає необхідність моделювати несиметричну машину в системі осей d, q, 0, задаються частотою обертання координат _к =. В цьому випадку в диференційному рівнянні електричної рівноваги статора і ротора з’являється невідома функція (t). Для користування цієї математичної моделі треба точно сформулювати задачу ( пуск, реверс, або зміна навантаження М_ст). Це означає, що перед початком моделювання повинні знати початкові значення , М_ем.