Вивод диференційних рівнянь машини для нових змінних

Перетворимо початкові рівняння реальної машини наступним чином: помножимо ліву і праву частини диференційного рівняння фази А на

сos_кt, праву і ліву частини диференційного рівняння фази В на

сos(_кt-120^), праву і ліву частини диференційного рівняння фази С на

сos(_кt+120^). Виконаємо почленне сумування.

(U_А сos_кt+ U_В сos(_кt-120^)+ U_С сos(_кt+120^))=U_U1

R₁(i_А сos_кt+ i_В сos(_кt-120^)+ i_С сos(_кt+120^))=R₁i_U1

В результаті можемо записати рівняння електричної рівноваги фази U статора в наступному вигляді:

U_U1= R₁i_U1+ ( сos_кt+ сos(_кt-120^)+ сos(_кt+120^))

Виконаємо додаткові перетворення, а саме:

= сos_кt - _Аsin_кt_к

= сos(_кt-120^o)- _Вsin(_кt-120^o)

= сos(_кt+120^o)- _Сsin(_кt+120^o)

З наведених виразів знайдемо значення підкреслених формул для підстановки їх в рівняння електричної рівноваги фази U статора.

= +_Аsin_кt_к

сos(_кt-120^o)= +_Вsin(_кt-120^o)_к

сos(_кt+120^o)= +_Сsin(_кt+120^o) _к

Після підстановки:

U_U1=R₁i_U1+ ( + +

+ +_Аsin_кt_к+_Вsin(_кt-120^o)_к+

+_Сsin(_кt+120^o) _к

Виконаємо додаткові перетворення:

Після диференціювання цих виразів і сумування їх правих частин після підстановки їх в рівняння електричної рівноваги фаз статора одержимо :

U_U1=R₁i_U1+ -_к_V1

Для цього рівняння запишемо висновок: прикладена до фази U статора напруга врівноважується падінням напруги на активному опорі фази R₁i_U1, ЕРС самоіндукції фази та ЕРС обертання _к_V1 в звязку з тим, що статор обертається в просторі з довільною швидкістю _к .

Виконаємо аналогічні перетворення для осі V. Для цього перемножимо складові рівнянь електричної рівноваги фаз статора на:

(U_А=R₁i_А+ )(- sin _кt)

(U_В=R₁i_В+ )(- sin (_кt-120^о))

(U_С=R₁i_С+ )(- sin (_кt+120^о))

Виконаємо почленне сумування складових диференційних рівнянь згідно з формулами прямого перетворення координат :

- [ U_А sin _кt+ U_В sin (_кt-120^о)+ U_С sin (_кt+120^о)]= U_V1

- [ R₁i_А sin _кt+ R₁i_В sin (_кt-120^о)+ R₁i_С sin (_кt+120^о)]= i_V1 R₁

Виконаємо додаткові перетворення, а саме:

= sin _кt+_А сos_кt_к

= sin(_кt-120^о)+_Всos(_кt-120^о) = sin(_кt+120^о)+_Ссos(_кt+120^о)

З одержаних виразів знайдемо помножене на відповідний коефіцієнт.

Після сумування остаточно будемо мати:

U_V1= R₁i_V1+ -_к_U1

Для ротора аналогічні рівняння можна одержати таким чином:

(0=R₁i_а+ )( cos(_кt-))

(0=R₁i_в+ )( cos (_кt--120^о))

(0=R₁i_с+ )( cos (_кt-+120^о))

Після перемноження та сумування відповідних членів будемо мати:

0= R₂i_U2+ -(_к-)_V2

Виконаємо додаткові перетворення:

[_а cos(_кt-)]= cos(_кt-) - _а(_к- )sin(_кt-)

[_в cos (_кt--120^о)]= cos(_кt--120^о)- _в(_к- )sin(_кt--120^о)

[_c cos (_кt--120^о)]= cos(_кt--120^о)-_с(_к- )sin(_кt-+120^о)

Остаточно для осі V ротора будемо мати:

0= R₂i_V2+ +(_к-)_U2

Таким чином, повна система рівнянь еквівалентної двофазної машини записується в вигляді:

U_U1=R₁i_U1+ -_к_V1

U_V1= R₁i_V1+ -_к_U1

0= R₂i_U2+ -(_к-)_V2

0= R₂i_V2+ +(_к-)_U2

Основний недолік одержаної системи – вісім невідомих функцій , а чотири рівняння. Для того, щоб можна було вирішувати систему, її потрібно записати або через струми, або через потокозчеплення. Ми маємо рівняння для всіх потокозчеплень фаз еквівалентної машини. З системи рівнянь (а) знайдемо струми i_U1 та i_U2 :

i_U1=

i_U2=

Для знаходження струму i_U1 підставимо i_U2 в його вираз:

i_U1= = ,

i_U1R₁=

Введемо нові коефіцієнти:

_S, _r- коефіцієнти затухання

Після вводу коефіцієнтів в рівняння одержимо спрощений вираз:

i_U1R₁=

i_U1R₁=

Аналогічно для осі V:

і_V1R₁=

Для ротора:

i_U2R₂=

i_V2R₂=

Після підстановки одержаних виразів для падінь напруги запишемо рівняння електричної рівноваги через потокозчеплення (система _S - _r).

Одержана система диференційних рівнянь в координатних осях U,V відрізняється від диференційних рівнянь реальної машини відсутністю періодичних коефіцієнтів, а також тим, що вона записана в найпростішому вигляді, тобто в якості відшукуваних функцій виступають потокозчеплення фаз перетвореної машини. Якщо в результаті вирішення такої системи знайдемо потокозчеплення фаз, а через них і значення струмів фаз , то користуючись формулами зворотнього перетворення можна знайти струми реальних фаз як статора, так і ротора.

Наприклад:

і_А= i_U1сos_кt- i_V1sin_кt+і₀₁ -ротор

і_В= i_U1сos(_кt-120^о)- i_V1sin(_кt-120^о)+і₀₁

і_а= i_U2сos(_к-)t- i_V2sin(_к-)t+і₀₂ -статор

і_в= i_U2сos(_к-)t-120^о- i_V2sin(_к-)t-120^о+і₀₂

Електромагнітний момент узагальненого асинхронного двигуна АД

Вираз електромагнітного моменту запишемо як частинну похідну від запасу електромагнітної енергії ідеальної машини. Із теоретичної електромеханіки відомо, що :

W_ем= _Аі_А+_Ві_В+_Сі_С+_аі_а+_ві_в+_сі_с

Якщо тепер це рівняння підставити в значення потокозчеплень фаз, то будемо мати:

W_ем= (Lі_А+М₁і_В+ М₁і_С+ М₁₂cosі_а +М₁₂cos(+120^o) і_в+

+М₁₂cos(+120^o) і_с)і_А+(М₁і_А+Lі_В+ М₁і_С+ М₁₂cos(-120^о)і_а +

+М₁₂cos і_в+ М₁₂cos(+120^o) і_с)і_В+…

Якщо виразити реальні струми в формулі для W_ем через значення струмів еквівалентної двофазної машини i_U1 та i_V1 для статора, та i_U2 та i_V2 для ротора, та виконаємо перетворення відповідних cos та sin суми та різниці двох кутів одержимо рівняння електромагнітного моменту в наступному вигляді:

М_ем= ( i_U2i_V1- i_V2 i_U1)

Для того, щоб записати рівняння моменту через потокозчеплення ( як і система рівнянь електричної рівноваги) виразимо струми i_U1,i_V1 та i_U2,i_V2 через потокозчеплення за допомогою формули:

i_U1=

Спростимо цю формулу вводячи коефіцієнти _s^ ,_r,,К_r, К_s. Якщо підставити ці коефіцієнти, то струм i_U1буде:

i_U1=

Якщо підставити всі інші значення струмів в рівняння електромагнітного моменту, то одержимо вираз цього моменту через потокозчеплення:

М_ем= ( _U2_V1- _V2 _U1)

Цей вираз дає аналітичний зв’язок між рівняннями електричної рівноваги фаз і рівноваги руху ротора.

Для того, щоб скласти математичну модель машини або вирішити систему в програмі МАТ-ЛАБ запишемо одержану систему рівнянь в нормалізованому вигляді, тобто в формі Коші. Для цього кожне рівняння системи вирішимо відносно чистих похідних. З першого рівняння маємо:

=U_U1-_s^₀_U1+_s^₀K_r_U2+_K_V1

= U_V1-_s^₀_V1+_s^₀K_r_V2-_K_U1

= U_U2-_r^₀_U2+_r^₀K_S_U1-(_K-)_V2

= U_V2-_r^₀_V2+_r^₀K_S_V1-(_K-)_U2

М_ст= ( _U2_V1- _V2 _U1)

= (М_ем-М_стsign)