III. Решение дифференциальных уравнений.

При решении ОДУ без каких-либо условий получается множество решений. Для получения единственного решения задают дополнительные условия. Если задано значение функции в начальный момент времени, то условия называются начальными, а полученная задача называется задачей Коши; если условия задаются на границе, то их называют граничными или краевыми, а саму задачу – краевой. Если заданы и начальные и граничные условия задачу называют смешанной краевой задачей.

1. Задачи с начальными условиями для оду (задача Коши).

Задача Коши для дифференциального уравнения -го порядка заключается в отыскании , удовлетворяющей уравнению (1) и начальным условиям (2)

(1)

, (2)

где – заданные числа.

Численные методы решения дифференциальных уравнений Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации

Рассматриваются две группы численных методов решения задачи Коши.

Одношаговые методы, в которых для нахождения решения в некоторой точке отрезка используется информация лишь в одной предыдущей точке (методы Эйлера, Рунге–Кутта).

Многошаговые методы, в которых для отыскания решения в некоторой точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках (метод Адамса)

Опр 1. Метод сходится на отрезке , если он сходится в каждой точке

Опр 2. Метод имеет р-й порядок точности, если существует число р>0 такое, что при

Опр 3. Сеткой на отрезке называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией.

В численных методах используются замены производных конечными разностями:

Одношаговые методы. Метод Эйлера и его модификации.

Метод Эйлера является простейшим методом решения задачи Коши и имеет невысокую точность, поэтому на практике его используют достаточно редко. Однако на его основе в дальнейшем легче объяснить алгоритмы более эффективных методов.

Рассмотрим задачу Коши для ОДУ 1-го порядка.

(1)

(2)

Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (1) на интервале и начальному условию (2) в точке .

Приведем без доказательства теорему существования и единственности задачи Коши:

Теорема 1. Пусть в области функция непрерывна. Тогда на некотором отрезке существует решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2).

Если в области функция удовлетворяет условию Липшица

,

то указанное решение единственно.

Проведем разбиение отрезка на частей:

. (3)

Найдем приближенные значения решения в точках .

1 Метод Эйлера

Рассмотрим уравнение (1) в точках и заменим производную

. (4)

Подставим в (1), получим

Введем обозначения , получим

– это явная несимметричная схема, 1-го порядка аппроксимации

Рекуррентная формула метода Эйлера для приближенных значений :

. (5)

Можно рассмотреть неявную схему, формула будет иметь вид

(5’)

Недостатки метода Эйлера: малая точность, систематическое накопление ошибок

Модификации метода Эйлера (погрешность ).

Для повышения точности метода Эйлера применяют следующие приемы.

Первый улучшенный метод (метод серединных точек) для решения задачи (1), (2) состоит в том, что сначала вычисляют промежуточную (серединную) точку с координатами

, (7)

где . Затем находят число

, (8)

определяющее уточненное направление, и берут

. (9)

Второй улучшенный метод (метод Эйлера-Коши).

Сначала находят приближенное значение решения по методу Эйлера:

, (10)

исходя из которого определяют направление поля интегральных кривых

а затем уточняют его по формуле

. (11)

Этот метод называется методом Эйлера-Коши.