6.2.4. Метод комбинированный

Соединил метод хорд и метод Ньютона. На каждом этапе этого метода находят значение по недостатку и значение по избытку корня нелинейного уравнения.

Рассмотрим случай

Для метода хорд неподвижен конец b, , то есть х₀=а.

Для метода касательных так как

Метод хорд применяется на каждом шаге к новому отрезку

Вычисления прекращаются, если

Тогда корень уравнения по окончании вычислений лучше взять за среднее арифметическое

Комбинированный метод можно рассматривать иначе

→ по методу касательных

по методу хорд.

Метод хорд на каждом шаге применяем к отрезку

Условие окончания и ответ аналогичен.

6.2.5. Метод итераций

Суть метода заключается в следующем

Исходное уравнение

заменим равносильным уравнением

.

Выберем каким-либо способом приближенное значение корня х₀ и подставим его в правую часть преобразованного уравнения

и далее

То есть,

Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет обеспечено выполнение неравенства

Преобразование исходного уравнения необходимо выполнить таким образом, чтобы

на отрезке [a,b], что является условием сходимости.

6.2.6. Особенности решения алгебраических нелинейных уравнений

Вспомним предварительно известные из курса алгебры некоторые свойства алгебраических уравнений с действительными коэффициентами в виде

1. Уравнения степени n имеет n корней, среди которых могут быть как действительные, так и комплексные.

2. Число положительных действительных корней меньше или равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов a₀, a₁,…, a_n. Заменяя х на (-х) в уравнении таким же способом можно оценить число отрицательных действительных корней.

3. Комплексные корни образуют комплексно-сопряженные пары, то есть каждому корню x=c+id соответствует x=c-id

Одним из способов решения алгебраического уравнения является метод понижения порядка. Он состоит в том, что после нахождения какого-либо корня x=c данное уравнение можно разделить на x-c, понизив тем самым его порядок на 1 до n-1 степени.

Для уменьшения погрешностей лучше сначала находить меньшие по модулю корни многочлена и сразу удалять их из уравнения. Поэтому, если отсутствует информация о величинах корней, в качестве начальных приближений принимают числа 0, ±1 и так далее.

Изложенные методы решения нелинейных уравнений могут быть использованы и для нахождения комплексных корней многочлена. Если в качестве начального приближения корня взять комплексное число, то последующие приближения и окончательное значение корня могут быть комплексными. Комплексные корни попарно сопряженные и при их исключении порядок уравнения уменьшается на два, поскольку оно делится сразу на квадратный трехчлен.