4.9. Некоторые свойства разреженных газов

Как мы знаем, средняя длина свободного пробега молекул

, (4.9.1)

и, таким образом, обратно пропорциональна давлению газа. При достаточно низком давлении средняя длина свободного пробега молекул может сравниться либо существенно превысить характерные размеры h сосуда. В зависимости от величины отношения различают низкий , средний ( >>1) и высокий вакуум. Физические явления в среднем и высоком вакууме обладают интересными особенностями.

Пусть газ находится в сосуде в условиях высокого вакуума. Сосуд разделен на две части A и В перегородкой, имеющей отверстие площади S. Температуры газа по обе стороны перегородки одинаковы (Т_А = Т_В), а давления разные (для определенности p_A > p_B). Через отверстие будут наблюдаться два противоположно направленных потока несталкивающихся между собой молекул (при высоком вакууме молекулы сталкиваются практически только со стенками сосуда). Согласно формуле (1.4.12), число молекул, проходящих в единицу времени через отверстие площадью S из части A в часть B сосуда,

, (4.9.2)

а в противоположном направлении –

, (4.9.3)

где

, (4.9.4)

. (4.9.5)

Результирующее число молекул, пролетающих в единицу времени через отверстие площади S, из A в В

. (4.9.6)

Если два сосуда A и B соединены цилиндрической трубкой радиусом r и длиной l, то, как показал М. Кнудсен, результирующий поток будет равен:

. (4.9.7)

При получении формул (4.9.6–4.9.7) предполагалось, что , где h – характерный размер сосуда.

Если же, наоборот, давление газа настолько велико, что средняя длина свободного пробега молекул значительно меньше диаметра отверстия,

т. е. , то истечение газа происходит по закону Пуазейля, согласно которому объем газа, протекающего в единицу времени через трубку радиусом r и длиной l,

, (4.9.8)

где (p_A − p_B) – разность давлений на концах трубы, – вязкость газа. В этом случае число молекул, проходящих в единицу времени через трубу

, (4.9.9)

где < n > – среднее число молекул в единице объема газа в трубе, равное

. (4.9.10)

Подставим выражения (4.9.8) и (4.9.10) в (4.9.9), в результате будем иметь

. (4.9.11)

Соотношение Пуазейля (4.9.11), описывающее истечение газа через отверстие, размеры которого значительно больше средней длины свободного пробега молекул, является следствием законов гидродинамики и потому справедливо для сплошных сред. В этом случае молекулы вблизи отверстия многократно сталкиваются друг с другом, и число молекул, попадающих в отверстие, не равно числу молекул, пролетающих через него. В результате столкновений молекул возникнет упорядоченное движение газа через отверстие.

Формула Кнудсена (4.9.7), описывающая вытекание разреженного газа через маленькое отверстие (эффузия), размеры которого малы по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул, справедлива только для сильно разряженных газов. При эффузии молекулы газа, двигаясь хаотически, покидают сосуд А независимо одна от другой, проходя через отверстие с такой же скоростью, которую они имели на значительном расстоянии отверстия. Поэтому при эффузии нет упорядоченного движения газа.

Как видно из формулы (4.9.7), скорость N эффузии уменьшается с ростом массы m₀ молекулы. Поэтому при эффузии смеси двух газов с разными массами вытекающий газ будет содержать больше молекул легкого компонента. Пропуская смесь газов через специально изготовленные пористые перегородки, имеющие множество малых отверстий (капилляров), получают смесь, обогащенную легким компонентом. Повторяя этот процесс многократно удается выделить практически чистый легкий компонент газа.

Особенно широко применяется процесс эффузии при промышленном разделении изотопов (атомов с совершенно одинаковыми химическими свойствами, но с разными массами) одних и тех же химических элементов. Химическим способом такие смеси разделить невозможно.

Предположим теперь, что разреженный газ в частях А и В сосуда, разделенных перегородкой с малым отверстием, имеет одинаковые давления (p_A = p_B), но разные температуры (T_A>T_B). Из равенства давлений следует, что n_AkT_A = n_B kT_B, откуда

, (4.9.12)

так как T_B < T_A. Таким образом, при равенстве давлений концентрация молекул в части В больше концентрации в части А сосуда. Если температуры поддерживаются постоянными в разных частях сосуда, то в плотных газах при равенстве давлений с одной и c другой стороны отверстия (механическое равновесие) не вызовет преимущественного потока молекул через это отверстие. В разреженных же газах понятие давления на отверстие с разных сторон теряет смысл, так как молекулы свободно проходят через отверстие, не сталкиваясь друг с другом. Поэтому разная концентрация (n_A < n_B) с обеих сторон отверстия приведет к возникновению преимущественного потока молекул в ту сторону, где температура выше, т. е. из B в A. В результате вырастет концентрация молекул в части A сосуда и, следовательно, увеличится поток молекул из A в B. В конце концов, наступит момент, когда потоки через отверстие с противоположных сторон станут одинаковыми:

. (4.9.13)

С учетом формул (4.9.4–4.9.5), последнее равенство можно представить в виде:

. (4.9.14)

Таким образом, в сильно разреженных газах в обоих сосудах, разделенных малым отверстием, устанавливаются разные давления, причем в сосуде с более высокой температурой будет и более высокое давление. Этот процесс называют термоэффузией или эффектом Кнудсена.

Этот эффект играет важную роль во многих явлениях природы, в частности, с его помощью происходит обмен воздуха в почве, которая пронизана множеством капилляров диаметром в доли микрон. Легко подсчитать по формуле (4.9.1), что при атмосферном давлении средняя длина свободного пробега молекул воздуха порядка диаметра этих капилляров, т. е. воздух в капиллярах можно считать разреженным газом. Та часть воздуха в капилляре, которая расположена ближе к поверхности почвы, нагревается днем солнцем сильнее, чем часть воздуха, расположенного в глубине. В результате термоэффузии возникает поток воздуха в сторону большей температуры, т. е. к поверхности почвы, и рассеивается ветром. Ночью, наоборот, часть воздуха в капиллярах, расположенная ближе к поверхности почвы, остывает быстрее, чем в глубине и, благодаря этому, поток воздуха будет направлен от поверхности почвы в ее глубину. Таким образом в почве происходит обмен воздуха, необходимый для нормального роста растений.

Так как в сильно разреженных газах молекулы движутся без соударений, то механизм теплообмена и трения носит существенно иной характер по сравнению с плотными газами. В разреженных газах нельзя выделить слои и рассматривать передачу энергии или импульса соударяющимися молекулами от слоя к слою, как мы это делали в плотных газах.

Рассмотрим процессы теплообмена и трения на основе следующей модели механизма этих процессов в разреженных газах. Пусть в газ погружены две твердые пластинки, расстояние между которыми равно h. Молекула газа, столкнувшись с пластинкой, на очень небольшое время оседает на ней, затем покидает ее, получив энергию, соответствующую температуре этой пластинки. (В действительности взаимодействие молекул с пластинкой имеет более сложный характер.)

Как мы знаем, при теплообмене молекулы переносят кинетическую энергию от мест более горячих к местам более холодным. Обозначим температуры пластинок через T₁ и T₂ (T₁ >T₂). В нашей модели молекула, отлетевшая от горячей пластинки, имеет в среднем кинетическую энергию <E_k1>, соответствующую температуре T₁ этой пластинки. Столкнувшись потом с холодной пластинкой, она отлетает от нее с энергией <E_k2>, соответствующей температуре T₂ холодной пластинки. В результате энергия, переданная молекулой от горячей к холодной пластинке, равна <E_k1> – <E_k2>. Точно так же, молекула, отскочившая от холодной пластинки с энергией <E_k2>, после столкновения с горячей пластинкой отскочит от нее с энергией <E_k1>, и далее, столкнувшись с холодной пластинкой, будет иметь энергию <E_k2>. В результате горячая пластинка отдает холодной ту же энергию <E_k1> – <E_k2>. Таким образом, каждая молекула после ряда столкновений переносит энергию от горячей к холодной пластинке, равную <E_k1> – <E_k2>. Количество же энергии (тепловой), переносимое dν молекулами за время dt от более горячей площадки dS к более холодной такой же площадке, будет равно

. (4.9.15)

Учитывая формулы (1.4.12) и (4.6.2), последнее выражение можно представить в виде:

, (4.9.16)

где – плотность газа.

Хотя понятие о градиенте температуры в разреженном газе лишено смысла, мы формально в законе Фурье вместо dT/dx подставим величину (T₂–T₁)/h:

. (4.9.17)

Сравнивая (4.9.16) и (4.9.17), получим выражение для коэффициента теплопередачи в вакууме:

, (4.9.18)

где учтено, что для идеального газа . Из последней формулы видно, что с уменьшением давления падает и теплопередача разреженного газа. Теплопроводность же плотных газов, как мы знаем, от давления не зависит.

Рассмотрим теперь явление трения, которое испытывают тела в разреженных газах. Пусть в газе параллельно друг другу в одном направлении (оси Х) движутся две пластинки, которые находятся при одной и той же температуре, равной температуре газа.

Если бы пластинка покоилась относительно начала оси Х, то произвольная молекула, двигающаяся со средним тепловым импульсом m₀<υ> отразилась бы от пластинки, имея тот же тепловой импульс m₀<υ>. Однако пластинка движется, поэтому молекула отразится от нее, имея дополнительную составляющую (вдоль оси X) m₀u₁ импульса, соответствующую скорости пластинки. Столкнув­шись потом с другой пластинкой, имеющей скорость u₂, молекула отразится с дополнительным импульсом m₀u₂.

Таким образом, после столкновения с пластинками импульс каждой молекулы изменяется на величину m₀(u₁ – u₂). Изменение же импульса dν молекул, ударяющихся о площадку dS пластинки за время dt, согласно формуле (1.4.12), равно

. (4.9.19)

Чтобы определить коэффициент трения в разреженном газе, в законе Ньютона (4.7.6) для вязкого трения формально заменим du/dx на

(u₂ – u₁)/h, где h – расстояние между пластинками. В результате будем иметь

. (4.9.20)

Сравнивая (4.9.19) и (4.9.20), получим

. (4.9.21)

Из последней формулы видно, что коэффициент трения уменьшается с уменьшением давления разреженного газа, тогда как для плотных газов он от давления не зависит.

Из выражения (4.9.19) следует, что сила, действующая на единицу площади пластинки

. (4.9.22)

216