1.4. Число ударов молекул о стенку сосуда

Получим формулу для вычисления числа ударов молекул в единицу времени о единичную площадь стенки сосуда, в котором находится газ.

Возьмем на стенке сосуда, бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную оси Z системы координат XYZ ( рис. 8). На этой площадке, как на основании, построим бесконечно узкий цилиндр с осью, имеющей направление, определяемое сферическими углами  и , и длина которой равна dt, где  – скорость молекулы, dt – промежуток времени. Объем этого цилиндра

, (1.4.1)

а число молекул в нем d = ndV, где n – концентрация молекул в сосуде. Из-за хаотичности движения не все d молекул достигнут площадки dS за время dt. Ее достигнут только те из молекул, которые, во-первых, движутся в направлении к площадке dS и, во-вторых, имеют скорости, близкие к , при этом за время dt они проходят расстояние dt, равное длине образующей цилиндра, и достигают площадки dS.

И если к моменту времени t эти молекулы находились в объеме dV цилиндра, тогда время от t до t + dt все они достигнут площадки dS. Найдем число таких молекул в объеме dV цилиндра.

Р и с. 9

Обозначим через dn_ число молекул в единице объема газа, которые имеют скорости, заключенные в интервале (,  + d). Пусть среди этих молекул dn_ молекул в единице объема име­ют направления движения, определяемые сферическими углами, взяты­ми из интервалов (, + d) и (, + d). Согласно формуле (1.3.5), количество таких молекул в единице объема газа равно

(1.4.2)

Число же указанных молекул в объеме dV рассматриваемого цилинд­ра

(1.4.3)

С учетом формул (1.4.1) и (1.4.2) выражение (1.4.3) примет вид

(1.4.4)

Таким образом, среди всех молекул, находящихся в объеме dV цилиндра, d_,, молекул имеют близкие к  скорости, и их направления движения определяются углами, близкими к углам  и . Однако из объема V, занимаемого газом, к площадке dS подлетают молекулы с других направлений и с иными скоростями. Чтобы учесть это, необходимо проинтегрировать выражение (1.4.4) по всем возможным углам  и  и скоростям :

(1.4.5)

Сферический угол  в общем случае изменяется от 0 до . В выражении (1.4.5) интегрирование по  произведено от 0 до /2, так как при интегрировании по  в пределах от /2 до  рас­сматриваемые молекулы, как легко видеть из рис. 9, будут иметь на­правление движения, соответствующее их удалению от площадки.

Разделив обе части соотношения (1.4.5) на dtdS, получим

(1.4.6)

Таким образом, выражение (1.4.6) определяет число ударов молекул га­за в единицу времени о единичную площадку стенки сосуда.

Для выяснения смысла величины интеграла в выражении (1.4.6) умножим и разделим его на концентрацию молекул n = N/V.

(1.4.7)

Если обозначить через dN_ число молекул в объеме V, которые имеют скорость от  до  + d, то dn_ = dN_ /V будет опре­делять число таких молекул в единице объема газа. Величина же

(1.4.8)

при больших N представляет собой вероятность того, что случайно взятая в газе молекула будет иметь скорость, заключенную в ин­тервале (,+d). Эта вероятность связана с функцией распре­деления (плотностью вероятности) следующим соотношением (см. А.23 прил. А):

(1.4.9)

Функция распределения молекул по скоростям F() является важ­нейшей характеристикой равновесного состояния газа. Ее явный вид будет получен далее из весьма общих предпосылок.

С учетом формул (1.4.8) и (1.4.9) выражение (1.4.7) примет вид

(1.4.10)

Интеграл, стоящий в соотношении (1.4.10), представляет среднее зна­чение скорости (см. формулу А.25 приложения А):

(1.4.11)

Поэтому

(1.4.12)

Как видно из выражения (1.4.12), число ударов молекул газа в единицу времени о единичную площадку пропорционально концентрации и средней скорости их движения, что находится в полном согласии с нашей интуицией.

Пример

1. В космическом корабле находится воздух объема V с концентрацией n₀, поддерживаемый при постоянной температуре. За бортом корабля вакуум. Найти зависимость концентрации молекул воздуха в корабле от времени, если в тонкой части его стенки образовалось малое отверстие площадью S?

Решение. Пусть через время t после образования отверстия кон­центрация воздуха в корабле стала равной n(t). Тогда число молекул воздуха, влетающих в отверстие площади S за время dt (от момента t до t + dt), согласно формуле (1.4.5)

d= n(t)   Sdt. (1.4.13)

Эти молекулы покидают кабину корабля. С другой стороны, это число молекул можно выразить иначе. Изменение концентрации воздуха в корабле за время dt (от t до t + dt)

Откуда находим

d = –Vdn. (1.4.14)

Сравнивая выражения (1.4.13) и (1.4.14), получаем

(1.4.15)

Проинтегрируем равенство (1.4.15):

Откуда находим искомую зависимость концентрации от времени

(1.4.16)