1.15. Экспериментальная проверка распределения молекул по абсолютным значениям скорости

В 1920 г. О. Штерн разработал метод атомных (молекулярных) пучков и с его помощью экспериментально измерил скорость теплового движения молекул газа, а также проверил распределение Максвелла. Установка Штерна состояла из двух коаксикальных цилиндров, на оси которых находилась платиновая проволока, покрытая слоем серебра. (рис. 17). В приборе создавался высокий вакуум. При пропускании по проволоке тока она раскалялась и с ее поверхности испарялись атомы серебра, которые вылетали через узкую щель, проделанную во внутреннем цилиндре, и достигали стенки наружного цилиндра (в точ­ке A на рис. 17).

Р и с.17

В результате образовывалась узкая серебряная полоска, являющаяся изображением щели. Затем весь прибор приводился во вращение вокруг оси цилиндров с постоянной угловой скоростью ω, при этом полоска смещалась в сторону противоположную вращению на величину ∆=AA′. Смещение возникало, потому что за время t пролета атомом серебра расстояния R-r цилиндр успевал повернуться на угол φ = Δ/R = ωt. Откуда определялось время t = ∆/ωR, знание которого позволяло найти скорость атома серебра через измеримые параметры опыта:

.

Как следовало ожидать, полоска серебра в положении А^′ оказывалась размытой из-за того, что атомы серебра имеют разные скорости: более быстрым атомам соответствуют меньшие, а более медленным – большие смещения Δ. Исследуя зависимость плотности серебра в размытой части от расстояния до точки A, нетрудно оценить распределение атомов серебра по скоростям. Полученное распределение хорошо согласовывалось со значениями, вычисленными по формуле (1.10.35).

Более совершенный метод по проверке закона Максвелла был реа­лизован в 1929 г. Ламертом. В высоком вакууме вращаются, насаженные на общую ось, два круглых диска 1 и 2 с радиальными узкими прорезя­ми (рис. 18), смещенными друг относительно друга на угол φ. Напротив про­рези диска 1 находилась тигельная печь 3 с исследуемым веществом и диафрагма 4. Вся установка приводилась во вращение с постоянной уг­ловой скоростью. Очевидно, атомы, вылетевшие со скоростью υ из печи, достигают мишени 5, если время их пролета расстояния между дисками t₁ = l/υ совпадает со временем t₂ поворота диска 2 на угол φ, т.е. t₂ = φ/ω. Из условия t₁ = t₂ находим υ = lω/φ. Меняя угловую скорость вращения ω, можно выделить атомы с различными скоростями. Улавливая атомы, движущиеся с различными скоростями в течение равных промежутков времени, можно по толщине (плотности) осадка на мишени определить их относительное количество в пучке и тем самым проверить закон распределения Максвелла. Обработка экспериментальных результатов, полученных на установке Ламерта, показала полное согласие их с законом Максвелла.

Р и с. 18

Примеры

1. Используя явный вид функции , задаваемый выражением (1.10.33), доказать формулу (1.4.12).

Решение. Разделив обе части равенства (1.10.4) на объем V, занимаемый газом, получим

,

где – число молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале

Выберем в газе площадку dS, перпендикулярную оси X. Все молекулы, имеющие скорости от до и находящиеся в момент времени t в цилиндре с высотой и основанием dS, достигнут к моменту времени t+dt площадки dS (возможностью столкновений этих молекул с другими молекулами в течение времени dt , очевидно, можно пренебречь). Число таких молекул в объеме указанного цилиндра равно

Количество молекул с любыми проекциями скоростей , ударяющихся о площадку dS за время dt равно

.

Искомое число молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, равно

2. С помощью плотности вероятности , определяемой формулой (1.10.33), показать, что давление газа p=nkT, где T и n температура и концентрация газа соответственно.

Решение. Направим ось X перпендикулярно бесконечно малой площадке dS, расположенной на стенке сосуда. При ударе одной молекулы о площадку dS стенка получает импульс силы равный

где – проекция на ось X силы, действующей на стенку молекулой массой и скоростью в течение времени dt.

Очевидно, к моменту времени t + dt о площадку dS ударятся все молекулы, которые в момент времени t находились в цилиндре с объемом и имели скорости в интервале от до . Число таких молекул равно

Суммарный импульс силы и давление, создаваемое этими молекулами, соответственно равны:

Полное давление получим, если просуммируем последнее выражение по всем проекциям от нуля до бесконечности:

3. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул газа, которые имеют одинаковые массы и находятся при температуре T.

Решение. Найдем прежде всего распределение молекул по кинетическим энергиям , используя распределение по величине скорости (1.10.35). Так как кинетическая энергия является монотонно возрастающей функцией величины скорости, то для нахождения распределения можно воспользоваться формулой (А.71) приложения А:

.

Подставляя сюда вместо его выражение (1.10.35), получим

.

Учитывая, что в левой части последнего соотношения

найдем, что

Наиболее вероятное значение кинетической энергии находится из уравнения . Дифференцирование дает:

.

Откуда

Кинетическая же энергия, соответствующая наиболее вероятной скорости , равна

,

т. е. в два раза больше наиболее вероятного значения кинетической энергии.

4. Найти распределение молекул по дебройлевским длинам волн. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны для газа, состоящего из атомов аргона при температуре Т = 293 K. (Волна де Бройля отображает корпускулярно-волновой дуализм, присущий всем без исключения видам материи электронам, протонам, атомам, молекулам и т. д., а также квантовую природу этих частиц. Длина волны де Бройля определяется по формуле , где и – масса и скорость частицы соответственно, а – постоянная Планка).

Решение. Переход от максвелловского распределения по скоростям к распределению по дебройлевским длинам волн осуществляется с по­мощью соотношения (А.73) приложения А:

.

Подставляя в это соотношение из (1.10.35) и учитывая, что

,

найдем

,

где .

Наиболее вероятную дебройлевскую длину волны находим из уравнения Это дает

5. Доказать, что распределение интенсивности по частотам излучаемого света атомами массой , находящихся в газообразном состоянии при температуре T , имеет вид: , где – интенсивность света, соответст-вующая собственной частоте излучаемого атомами света, , c – скорость света. Найти относительную ширину данной спектральной линии, т. е. ширину линии на половине ее высоты.

Решение. Будем считать, что наблюдатель света, излучаемого атомами, покоится относительно монохроматора, с которым связана система координат. Положительное направление оси X направим к наблюдателю. Если атом покоится относительно выбранной системы координат и излучает свет, то наблюдатель фиксирует собственную частоту . Если же атом, излучая свет, приближается к наблюдателю со скоростью , то он фиксирует увеличение частоты; если же атом, излучая свет, удаляется со скоростью , то наблюдатель отмечает уменьшение частоты света. Этот эффект, называемый эффектом Доплера, описывается количественно формулой

где v – частота, воспринимаемая движущимся со скоростью наблюдателем, – проекция на ось X скорости атома, c – скорость света. Так как в нашем случае скорость наблюдателя , то

.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на и пренебрегая величиной по сравнению с единицей, получим

.

Из последнего соотношения видно, что при частота, воспринимаемая наблюдателем, ; при частота . Учитывая, что , а также что распределение Максвелла

из равенства находим распределение излучаемого света по частотам

.

Интенсивность излучаемого атомами света, очевидно, пропорциональна , т. е.

,

где Величина A является коэффициентом пропорциональности между и .

Найдем ширину полосы частот принимаемого света. Эту полосу определим из уравнения , т. е.

После логарифмирования, находим

Откуда

6. В опыте французского физика Ж. Перрена частицы эмульсии органической краски гуммигута, имеющие диаметр d = 0,6 мкм и плотность образовывали в воде взвесь, распределенную по высоте по закону Больцмана. Сделав с помощью микроскопа большое число микрофотограмм частиц гуммигута, находящихся в очень тонких слоях, отстоящих друг от друга на , Ж. Перрен обнаружил, что в среднем их число в этих слоях отличаются в l = 2 раза. Температура воды, при которой производился опыт T = 290 K. Определить из опытных данных Ж. Перрена постоянную Больцмана.

Решение. На частицу гуммигута массы действуют сила тяжести и сила Архимеда , где – масса вытесненной частицей воды, g – ускорение свободного падения. Результирующая сила постоянна, поэтому потенциальная энергия в поле этой силы

Частицы гуммигута, благодаря своему весу, существенно уменьшенному силой Архимеда, стремятся занять положение с минимумом потенциальной энергии однако тепловое движение препятствует этому тяготению и распределяет их с экспоненциально убывающей с высотой концентрацией (1.13.18):

Так как по условию задачи то

где . Логарифмируя, находим постоянную Больцмана

Учитывая, что где получим

где , – плотность воды при T = 290 K. Вычисления дают

.