1.12. Распределение Максвелла для относительных скоростей

Закон Максвелла (1.10.35) можно записать в универсальном виде, исключив зависимость от температуры газа и массы его молекул. Для этого введем безразмер­ную относительную скорость

, (1.12.1)

где – наиболее вероятная скорость молекулы. Так как функция и от υ монотонно возрастающая, то плотность распределения находится из равенства (см. формулу (А.71) приложения А)

(1.12.2)

Подставим функцию из (1.10.35) в (1.12.2)

(1.12.3)

Учитывая, что , и , из (1.12.2) получим

(1.12.4)

Плотность вероятности называют законом Максвелла для относи­тельных скоростей. Эта функция, как видно из (1.12.4), одинакова для всех газов и не зависит от температуры. Зная функцию , можно, к примеру, вычислить вероятность того, что относительная скорость молеку­лы примет значение на интервале (0, u):

Интеграл в последнем выражении есть функция верхнего предела, т. е.

(1.12.5)

Этот интеграл не выражается через элементарные функции. Его можно вычислить численными методами для различных зна­чений u и составить соответствующие таблицы, в которых можно найти любые вероятности того, что скорость молекулы попадает в тот или иной интервал. В самом деле пусть газ состоит из молекул массы m₀ и находится при температуре T. Требуется, через табулированную функцию найти вероятность того, что скорость υ произвольной молекулы заключена в интервале (υ₁, υ₂). Из равенства (1.12.2) искомая вероятность

где u_i = υ_i / υ_вер, i = 1,2.

Также легко, к примеру, найти вероятность того, что скорость молекулы будет не меньше заданной υ₁. Снова, используя (1.12.2), найдем требуемую вероятность

,

так как

1.13 Распределение Больцмана

Если газ находится в равновесии при температуре Т и отсутствуют внешние поля, то тепловое (хаотическое) движение молекул распределяет их по всему доступному объему равномерно, с постоянной концентрацией. Если же на газ наложить внешнее силовое поле, его молекулы будут иметь тенденцию перемещаться в направлении действия внешней силы и, таким образом, концентрация их в этом направлении будет увеличиваться, хотя, по-прежнему, тепловое движение стремится рассре­доточить молекулы равномерно по пространству. Эти два противоположно действующих механизма (тепловое движение и внешнее силовое поле) создают неравномерную, но равновесную концентрацию по пространству. Другими словами, в силовом поле концентрация молекул будет являться функцией пространственных координат n = n(x,y,z), не зависящей от времени (равновесие). Найдем это распределение концентра­ции по пространству, занимаемому газом.

Для того чтобы газ находился в состоянии термодинамического равновесия во внешнем поле сил, во-первых, он должен быть в тепловом равновесии: температура Т газа постоянна и равна температуре внешних тел; во-вторых, механическое равновесие означает, что суммарная сила , действующая на все молекулы произвольного объема dV газа со стороны внешнего поля уравновешивается силами давления газа на поверхность этого объема, т. е.

(1.13.1)

Р и с. 16

Если dV = dxdydz – бесконечно малый элемент объема газа, находящегося около точки A с координатами x, y, z (рис.16), то число молекул в нем равно n(x,y,z)dV. Ввиду малости объема dV, на каждую молекулу его действует постоянная по направлению и по величине внешняя сила , зависящая только от координат точки A, т. е. . Поэтому

(1.13.2)

С учетом (1.13.2) равенство (1.13.1) перепишем в виде

(1.13.3)

или в проекциях на ось X

(1.13.4)

На рис. 16 показан элементарный параллелепипед с указанием сил, действующих в направлении оси X. Если давление на левой грани равно P(x,y,z), то полная сила, действующая на эту грань, будет P(x, y, z)dydz. Давление на правой грани равно P(x + dx, y, z), и полная сила, действующая на эту грань, равна поэтому P(x + dx, y, z)dydz. Так как газ находится в равновесии, то эти силы противоположно направлены и проекция на ось X их равнодействующей может быть найдена просто путем вычитания:

(1.13.5)

Силы давления на остальные грани перпендикулярны оси X и их проекции на ось X равны нулю. Таким образом, полная сила, действующая на элементарный объем dV в направлении оси X, определится выражением

(1.13.6)

Разложим функцию по степеням dx в точке A(x, y, z).

(1.13.7)

Подставим разложение (1.13.7) в (1.13.6). В результате будем иметь

(1.13.8)

Подобным образом находятся проекции полных сил, действующих на внешнюю поверхность объема dV в направлении осей Y и Z.

(1.13.9)

(1.13.10)

Будем предполагать внешнее поле потенциальным, для которого

(1.13.11)

где – потенциальная энергия молекулы, находящейся в точке A(x, y, z). Откуда

(1.13.12)

Подставляя формулы (1.13.12) и (1.13.8) в выражение (1.13.4) и учи­тывая, что P = nkT, получим

(1.13.13)

Аналогичные равенства находятся проектированием сил, входящих в формулу (1.13.1), на оси Y и Z:

(1.13.14)

(1.13.15)

Умножим равенства (1.13.13)–(1.13.15) соответственно на dx, dy, dz и сложим их. В результате будем иметь

(1.13.16)

Выберем начало отсчета потенциальной энергии в точке с координа­тами , т. е. в этой точке .

Пусть значение давления в этой точке задано и равно P₀. Тогда интегрируя левую часть уравнения (1.13.16) в пределах от P₀ до P, а правую– от 0 до E_P , получим

(1.13.17)

Учитывая, что P = nkT, равенство (1.13.17) можем переписать в виде

(1.13.18)

Из формул Больцмана (1.13.17) и (1.13.18) видно, что концентрация (давление) молекул больше в тех точках пространства, где меньше их потенциальная энергия. При T → ∞, независимо от значения E_P, концентрация

n → n₀ = const, т.е. постоянна по всему объему, занятому газом. Таким образом, внешнее поле стремится сосредоточить молекулы в местах, где их потенциальная энергия меньше, а тепловое (хаотическое) движение разбрасывает молекулы по пространству так, что различие в концентрациях молекул в разных областях пространства с разными значениями потенциальной энергии уменьшается с увеличением температуры.

Если газ находится в равновесии при температуре Т в однородном поле земного тяготения, для которого , то, согласно формуле (1.13.17), давление газа

. (1.13.19)

где m₀g – вес молекулы, P₀ – давление на высоте h = 0, где потенциальная энергия выбрана равной нулю. Эта формула носит назва­ние барометрической формулы Лапласа. Из нее следует, что давление газа убывает с высотой тем быстрее, чем больше вес молекулы и чем ниже температура T газа.

Барометрической формулой удобнее пользоваться, если числитель и знаменатель под знаком экспоненты умножить на постоянную Авогадро N_A. Тогда

, (1.13.20)

где μ = m₀N_A – молярная масса газа, R – газовая постоянная.

Формула (1.13.20) описывает земную атмосферу приближенно, так как из-за действия на атмосферу солнечного излучения ее температура не является постоянной (к примеру, в тропосфере, которая простирается до высоты h = 10 км, температура убывает линейно до значения

Т = 220 К).

Поэтому в высотомерах (альтиметрах), представляющих собой барометры, шкалы которых проградуированы в метрах, необходимо вводить поправку на температуру.

В заключение отметим, что распределение Больцмана (1.13.18) применимо не только к идеальному газу, но к любой системе невзаимодействующих частиц, находящихся в равновесии при температуре Т и под воздействием потенциального силового поля. Например, к системе электронов в металле или полупроводнике, к системе частиц, взвешенных в жидкости или газе и т.п.