Задачи по теме «Линейная алгебра»

1. Найти матрицу , если

   1). 2	2).
   3).	4).

2. Найти и , если эти произведения существуют:

1).	4).
2).	5).
3).	6).

3. Найти

а) б)

4. Найти и

а)

б)

5. Найти

а) б) в)

6. Найти значение матричного многочлена если

а) ;

б)

в)

г)

д)

e)

7. Вычислить определители:

	1).	2).			3).			4).
	5).			6).		7).
8).			9).				10).
11).			12).				13).

14).	15).		16).
17).		18).

8. Найти и сделать проверку, если существует:

1).	2).	3).
4).	5).	6).
7).	8).	9).

9. Решить системы линейных алгебраических уравнений а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса:

   1).	2).	3).
   4).	5).	6).
   7).	8).	9).

10. Найти решение системы

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к)

11. Даны точки: . При каких значениях и векторы и равны?

12. Найти вектор из уравнения , если , , .

13. Заданы пары векторов: 1). и ; 2). и ; 3). и ; 4). и ; 5). и ; 6). и ; 7). и . Среди этих пар укажите те, которые удовлетворяют следующим условиям: а) и коллинеарные; б) длина вектора равна , длина вектора равна ; в) скалярное произведение векторов и равно 5; г) косинус угла между векторами и равен ; д) угол между векторами и равен ; е) векторы и сонаправлены; ж) векторы и ортогональны.

14. Даны два вектора . Проверить, что векторы и коллинеарные. Установить, во сколько раз один длиннее второго и как они направлены – в одну сторону или в противоположные стороны.

15. Даны точки , , и . Проверить, что векторы и коллинеарные. Установить, во сколько раз один длиннее второго.

16. Даны векторы и , где , , — базис. При каких значениях и векторы и коллинеарные?

17. Дано разложение вектора по базису . Разложить вектор по этому базису, если эти векторы коллинеарные и противоположно направлены, а .

18. Вычислить скалярное произведение :

    1).	2).
    3).		4).

19. Найти косинус угла между векторами и

1).	2).
3).		4).
5).		6).

20. Найти единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора

    1).

    2).

    3).

21. Найти единичный вектор, направленный противоположно вектору 1) 2)

22. На векторах 1) и 2) Построен параллелограмм. Записать векторы, направленные вдоль его диагоналей.

23. Являются ли коллинеарными векторы и заданные координатами в некотором базисе:

    1).	2).
    3).	4).

24. Являются ли ортогональными векторы и заданные координатами в некотором базисе:

    1).	2).
    3).	4).

25. Даны точки . Определить длину вектора .

26. Даны векторы и . Найти и .

27. Даны векторы: а) б) Определить длины векторов и косинус угла между ними.

28. Даны векторы: При каком значении косинус угла между ними будет равен 5/12?

30. Даны точки . Найти скалярное произведение и .

31. Даны векторы и в базисе , , . При каком значении они ортогональны?

32. Даны вершины четырехугольника A(1;-2;2), B(1;4;0), C(-4;1;1), D(-5;-5;3). Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.

33. Даны точки А₁(0;1;2), А₂(1;2;4), B₁(-1;-1;3), B₂(1;0;0). Найти координаты вектора и , если точки M₁ и M₂ –середины отрезков A₁ B₁ A₂ B₂ соответственно.

34. Даны точки A(-1;2;3), B(-1;3;1), C(-1;7;3), D(-1;6;5). Доказать, что ABCD – прямоугольник.

35. Дан треугольник с вершинами . Найти векторы, совпадающие с его сторонами и вычислить его периметр.

36. Проверить, будет ли треугольник с вершинами A(6;-4;2), B(3;2;3), C(3;-5;-1) прямоугольным?

37. Даны точки A(-3;-2;0), B(3;3;1), C(5;0;2). Во сколько раз больше (меньше) ?

38. На векторах и построен треугольник. Доказать, что треугольник прямоугольный и найти его площадь.

39. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?

40. Дан вектор . Найти координаты вектора , лежащего в плоскости Oxy , если и векторы и перпендикулярны.

41. Даны векторы . При каких значениях векторы и перпендикулярны?

42. Даны точки M(1;1;4), N(1;4;4), K(3;3;2). Доказать, что векторы и перпендикулярны, если точка O – середина отрезка MK.

43. Найти угол между векторами и , если A(3;3;-2), B(0;-3;4), C(0;-3;0), D(0;2;-4).

44. На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины его диагоналей.

45. Определить длины сторон параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и .

46. Образует ли система векторов ортогональный базис? Если да, то постройте по этому ортонормированному, базису соответствующий ортогональный базис а) (1;1;0;-1;-1), (1;0;-1;0;1), (1;-1;2;-1;1), (1;-1;0;1;-1). б) (1;3;2;3;1), (1;1;0;-1;-1), (1;0;-1;0;1), (1;-1;2;-1;1), (1;-1;0;1;-1).

47. Даны три вектора: 1) 2) Разложить вектор по векторам и .

48. Даны векторы и . Доказать, что они образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе, если 1) , где - базис, , 2) , где - базис, .

49. Проверить наличие линейной зависимости системы векторов в пространстве R².

1).

2).

3).

50. Определить ранг следующих матриц:

51. Какие из указанных векторов являются собственными векторами матрицы А?

а)
б)
в)