Оригинал-функции и их своства
Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:
1. f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
2. f (t)=0 для всех отрицательных t;
3. f (t) возрастает не
быстрее показательной функции, т. е.
существуют такие постоянные М и
,
что |f(t)|<M
для всех t. Изображением функции f (t)
(по Лапласу) называется функция F(p)
комплексного переменного p=s +it ,
определяемая равенством
.
Тот факт, что F(p) есть изображение f (t), будем символически записывать так:
.
Для любой функции-оригинала f (t)
изображение определено в полуплоскости
Rep>
и является в этой полуплоскости
аналитической функцией.
Из определения изображения следуют его простейшие свойства:
1. Линейность. Для
любых комплексных постоянных a и b
.
(здесь и далее считать f(t)=F(p), g(t)=G(p)).
2.Теорема подобия.
Для любого постоянного a >0
.
3. Дифференцирование
оригинала. Если функции f (t), fў (t) , fІ
(t),…,
(t)
являются функциями-оригиналами и
f(t)=F(p), то
,
,
,
где под f (k)(0), (k= 1, 2,…,
n-1) понимается
.
4. Дифференцирование
изображения. Дифференцирование
изображения сводится к умножению на
(-t) оригинала
или вообще
.
5. Интегрирование
оригинала. Интегрирование оригинала
сводится к делению изображения на р, т.
е. если f(t)=F(p), то
.
6. Интегрирование
изображения. Если интеграл
сходится, то он служит изображением
функции
.
7.Теорема смещения.
Если f(t)=F(p), то для любого комплексного
.
8.Теорема запаздывания.
Если f(t)=F(p), то для любого t >0
.
Важной для приложений является следующая:
Теорема единственности
Если две функции j(t) и j(t) имеют одно и то же L-изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Роль теоремы в том, что, если при решении практической задачи мы каким-либо образом определили изображение искомой функции, а потом по изображению нашли начальную функцию, то на основании теоремы единственности мы заключаем, что найденная функция есть решение поставленной задачи и других решений не существует. Применяя определения 1, 2, и указанные выше свойства, получаем таблицу изображений основных элементарных функций. Используя определение преобразования Лапласа, нетрудно вывести формулу для изображения кусочно-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной функции приведен на рис. 1. Введем обозначения:
tk –
точки разрыва функции f
(t) или fў
(t);
=
–
– скачки функции в узлах “стыка”;
=tg
–
tg
– скачки производной fў
(t) в узлах “стыка”.
Изображение кусочно-линейной функции
имеет вид
Можно получить изображение кусочно-линейной функции непосредственной подстановкой ее уравнения в формулу из определения.
№55
Изображение простейших функций.
1. Единичная
импульсная функция
, где
-
вещественное число. Изображение по
Лапласу:
.
Поскольку
отлична от нуля только для момента t =
0, то под знаком интеграла вся функция
также будет отлична от нуля только для
этого момента времени. Учитывая, что
экспонента в нулевой степени и интеграл
от
равны единице , получим приведенный
результат.
2.
Экспоненциальная функция
.
.
3. Изображение
ступенчатой функции
(постоянной величины)
. Заметим, что данную функцию можно
получить из экспоненциальной при a = 0.
Поэтому искомое изображение по Лапласу:
. Этот результат можно получить из
предыдущего примера при
.Существуют
довольно обширные справочные таблицы,
которые содержат пары оригинал -
изображение для различных функций
времени. Небольшая справочная таблица
такого рода приведена ниже. В нее
включены, кроме функций, рассмотренных
выше в примерах, еще несколько пар
оригинал - изображение, которые часто
встречаются в задачах анализа переходных
процессов. Заметим, что с помощью таблицы
можно найти не только прямое (по f(t)
определить F(p)), но и обратное преобразование
(по F(p) определить f(t)).
№56