2º. Связь между составляющими движениями в сложном движении материальной точки.

Найдем связь между абсолютным, переносным и относительным движением материальной точки. Для этого сначала рассмотрим абсолютное движение материальной точки  . Будем определять его через движение , задаваемое относительно точки отсчета  . Пусть точка  в момент времени занимает положение = . Положение точки  в этот же момент времени относительно точки отсчета  обозначим (см. рис.2).

Рис.2.

Если = — положение точки отсчета  в момент относительно точки отсчета , то по правилу сложения векторов можем записать

= + ,

или иначе

= = + . (11)

В координатной форме это векторное соотношение примет вид:

= ,

где ,  ,  — координаты вектора ,

,  ,  — координаты вектора ,

,  ,  — координаты вектора .

Координаты всех векторов задаются в абсолютной системе координат.

Будем теперь рассматривать положение точки  в этот же момент времени относительно точки отсчета в подвижном пространстве. Это положение задается вектор-функцией , т.е. имеем

= = . (12)

Вектор-функция определяет относительное движение точки  . В координатной форме равенство (12) примет вид:

.

Здесь , , — координаты точки  в момент времени  в подвижной

системе координат , или иначе, это координаты

вектора  ;

,  ,  — координатные функции относительного движения

в подвижной системе координат .

Поскольку = и = , то можем записать

= . (13)

Векторы и задаются в разных системах координат. В координатной форме равенство (13) выполняется в каждый момент времени  и имеет вид:

.

Здесь — вектор-функции, задающие движение базиса подвижного пространства в абсолютном .

Если — матрица ориентации пространства относительно пространства в момент времени  , то можем записать

= ,

или иначе,

= . (14)

Поэтому, подставляя (14) в (11), получим

= + , (15)

где = . (16)

В (15) слева стоит вектор-функция, определяющая абсолютное движение точки  , а справа — функция, записанная в векторно-матричной форме, задающая движение некоторого фиктивного твердого тела. Для него связанной системой координат служит подвижная система  . В (15) условно следует считать вектор неподвижным в системе  . Этот вектор совпадает с тем положением точки  твердого тела, которое занимает в нем в момент времени  точка  .

В (16) слева стоит вектор , указывающий в момент времени положение точки  в фиктивном твердом теле. Справа в (16) стоит вектор-функция , задающая относительное движение точки  . Следовательно, равенство (15) означает, что абсолютное движение точки  (левая часть равенства (15)) совпадает с движением той точки  фиктивного твердого тела (правая часть равенства (15)), с которой в момент времени  по положению совпадает материальная точка  .

По определению 4 переносного движения точки  векторная функция, стоящая справа в (15), — это функция, задающая переносное движение указанной точки (см. (10)).

Равенство (16) (по определению 1) — это относительное движение точки  .

Таким образом, соотношения (15) и (16) устанавливают связь между абсолютным, переносным и относительным движением точки  .

Подставляя (16) в (15), получим эту связь в виде одного равенства, записанного в векторно-матричной форме

= . (17)

В (17) задается координатными функциями в подвижных осях, а и – координатными функциями в абсолютных осях. Столбцы матрицы  содержат законы изменения направляющих косинусов базисных ортов подвижных осей в абсолютном пространстве.

Сопоставляя правые части (10) и (17), можем сделать следующее заключение, которое сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Абсолютное движение  точки  является суперпозицией её переносного движения и относительного движения .

Это утверждение можно записать в виде равенства

= . (18)

Данная теорема называется теоремой связи абсолютного и составляющих движений в сложном движении точки.

Замечание.

Формулу (17) можно записать в векторном представлении

= . (19)

В правой части равенства (19) стоит функция

, (20)

по виду совпадающая с вектор-функцией  , задающей относительное движение точки  при любом фиксированном положении базиса ,  ,  подвижной системы координат. Значение вектор-функции (20) зависит не только от времени , но и от ориентации базиса ,  ,  в абсолютном пространстве.

Вектор-функции  , выступающие в качестве аргументов в функции  в правой части (19) суть функции, определяющие движение базиса системы . Это движение является вращением фиктивного твердого тела вокруг полюса  . Проекции векторов  на абсолютные оси в момент времени  совпадают, соответственно, с элементами первого, второго и третьего столбцов матрицы  .

Если подставим функции  в правую часть (20), то получим функцию  следующего вида:

. (21)

Тогда равенство (19) с учетом (21) можно записать так:

= + . (22)

В нем вектор-функция  определяется по формуле (21) и задает положение точки  в любой момент времени  относительно полюса  в том случае, когда подвижная система координат  совершает вращение вокруг полюса  по закону

. (23)

По построению, функция  — это суперпозиция функции (20), задающей относительное движение точки  , и функций (23), задающих переносное движение подвижного пространства.

Переносным движением, соответствующим заданию (23), как отмечено выше, является вращение подвижного пространства вокруг фиксированной в нем точки отсчета  и «условно» неподвижной в абсолютном пространстве.

Из всего сказанного в данном замечании можно сделать вывод, что соотношение (19) определяет связь абсолютного, переносного и относительного движения материальной точки в другой форме. Эта связь формулируется следующим образом.

Абсолютное движение материальной точки может быть представлено суммой абсолютного движения точки отсчета  подвижного пространства и суперпозиции (21) двух движений — относительного движения (20) материальной точки и вращения (23) подвижного пространства вокруг точки отсчета  .