Глава 4. Сложное движение.
§1. Сложное движение материальной точки.
1º. Постановка задачи о сложном движении точки.
Основные определения.
С
абсолютным пространством свяжем систему
отсчета
(см. рис.1). Напомним, что
— это некоторая точка абсолютного
пространства, называемая точкой
отсчета.
Система
— это декартовая прямоугольная система
координат с полюсом в точке
,
называемая системой
отсчета.
Рис.1.
Обозначим
=
- положение произвольной точки
относительно точки отсчета
;
,
,
— ортонормированный базис системы
отсчета
;
,
,
— координаты точки
в этой системе. Тогда можем записать
=
.
Пусть задано движение точки в пространстве по закону
=
=
. (1)
В
пространстве
выберем другую декартовую прямоугольную
систему координат с полюсом в точке
и ортонормированным базисом
, 
, 
.
Положение точки
в ней обозначим
=
,
а её координаты —
,
,
.
В этих обозначениях положение точки
в системе 
задается следующим разложением по
базисным векторам
,
,
:
=
. (2)
Будем говорить, что система координат является подвижной системой координат в абсолютном пространстве , если и (или) ее полюс совершает движение в абсолютном пространстве, и (или) базис , , изменяет свою ориентацию с течением времени.
Обозначим
- положение точки
в системе
,
т.е.
=
=
.
Здесь
, 
, 
— координаты точки
в системе
.
Пусть
- матрица перехода от системы
к системе
.
Тогда для того чтобы задать движение
системы
,
необходимо задать вектор-функцию
и ортогональную матрицу
,
по которым в каждый момент времени 
должны вычисляться положение полюса
и матрица ориентации
системы
:
= , = . (3)
Если
, 
, 
обозначить координаты вектор-функции
в системе
,
то первое равенство в (3), задающее
движение полюса
,
можно записать в виде:
. (4)
Будем
называть подвижным пространством,
связанным с системой отсчета
,
множество точек
,
которые в этой системе отсчета сохраняют
значения своих координат неизменными
с течением времени
.
Иначе говоря, точки этого пространства
находятся в покое относительно системы
отсчета
.
Подвижное пространство можно интерпретировать как некоторое фиктивное твердое тело неограниченных размеров, для которого система является связанной системой координат.
Действительно, если сопоставить определение подвижного пространства и определение связанной системы координат для твердого тела, то увидим, что свойства точек фиктивного твердого тела с точки зрения связанной с ним системы координат и свойства точек подвижного пространства, имеющего в качестве системы отсчета ту же систему , совпадают.
Движение
точки
в подвижном пространстве
будем определять дважды непрерывно
дифференцируемой вектор-функцией
,
которая в каждый момент времени
задает положение точки
в системе координат
.
А это значит, что в каждый момент времени
имеет место равенство:
= , (5)
где = — положение точки в системе , имеющее разложение по базису , , данной системы в виде (2).
Если
, 
, 
- координаты вектор-функции
в системе
,
то равенство (5) примет вид:
=
. (6)
Определение 1.
Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением.
Относительное
движение задается вектор-функцией
и равенствами (5) или (6), в которых
обозначает положение точки
в подвижном пространстве, имеющем
систему отсчета
.
Индекс
у функции
выделяет функцию
в классе дважды непрерывно дифференцируемых
векторных функций как функцию, задающую
определенное относительное движение
точки.
Определение 2.
Движение точки по отношению к абсолютной системе координат называется абсолютным движением.
Абсолютное движение точки задается вектор-функцией и соотношением (1).
Определение 3.
Переносным движением будем называть движение подвижного пространства с системой отсчета относительно абсолютного пространства с системой отсчета . Иначе говоря, переносное движение — это движение фиктивного твердого тела в абсолютном пространстве.
Пусть
— произвольная точка фиктивного твердого
тела, и ее положение задается вектором
=
в системе
и вектором
=
в системе
.
Тогда движение точки
в абсолютном пространстве
определяется равенством
=
. (7)
Если
обозначить правую
часть (7) векторной функцией
,
зависящей от времени
и положения
точки
,
= , (8)
то (7) перепишется в виде
= . (9)
Очевидно, соотношение (9), рассматриваемое при всевозможных значениях векторов с постоянными координатами в системе , задает семейство движений в абсолютном пространстве, которое согласно определению 3 называется переносным движением в задаче о сложном движении точки.
Если фиксировать какое-либо одно значение в системе отсчета , то вектор-функция выделяет из семейства (9) движение в абсолютном пространстве той точки , которая занимает неизменное положение = в подвижном пространстве.
Определение 4.
Переносным движением точки называется абсолютное движение точки фиктивного твердого тела, с которой по своему положению в момент времени совпадает точка .
Из определения 4 вытекает, что переносное движение точки задается равенствами (8)-(9), в которых следует положить = , где = — фиксированное в момент времени положение точки в системе отсчета . Иначе говоря, переносное движение точки определяется по формуле
=
=
.
(10)
В
вектор-функции
от времени
зависят только
и матрица ориентации
,
а вектор
остается неизменным. Слева стоит
вектор
=
,
которым устанавливается положение
точки
в абсолютном пространстве,
задаваемое ее переносным движением.
Определение 5.
Абсолютное движение точки , задаваемое ее переносным и относительным движением, называется сложным движением этой точки.
Основная задача кинематики сложного движения:
установить связь между абсолютным движением и движениями переносным и относительным;
установить связь между кинематическими характеристиками указанных движений.
Движения переносное и относительное называются составляющими сложного движения материальной точки.