8. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон многоугольника, описанного около нее.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Доказательство:

• Чтобы вписать в треугольник окружность, нужно в данном треугольнике найти точку, равноудаленную от всех его сторон – точку пересечения биссектрис О.

• Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой стороны треугольника.

• Предположим, что в треугольник можно вписать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй окружности (точка О₁) совпадет с О, т. к. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника, следовательно, эти окружности совпадут.

9. Теорема об окружности, описанной около треугольника.

Описанная окружность – окружность, проходящая через все вершины вписанного многоугольника.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну. Следствие: любые три точки, не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности.

Доказательство:

• Чтобы описать около треугольника окружность, нужно найти точку, равноудаленную от всех его вершин – точку пересечения серединных перпендикуляров О.

• Проведем окружность с центром в точке О и радиусом, равным расстоянию от О до любой вершины треугольника.

• Предположим, что около треугольника можно описать 2 окружности. Тогда гипотетический центр второй будет так же являться точкой пересечения серединных перпендикуляров и совпадет с центром первой окружности, следовательно, эти 2 окружности совпадут.

10. Свойство описанного четырехугольника.

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Доказательство с использованием теоремы о секущих, проведенных из одной точки.

Обратно: если суммы противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность.

С

B

Доказательство.

D

A

Дано: АВ + CD = BC + AD.

Точка пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от АВ, BC и AD, следовательно, можно провести окружность с центром в точке пересечения этих биссектрис, касающуюся как минимум трех сторон.

Предположим, что CD не касается окружности. Тогда она либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай: CD не касается окружности. Проведем EF – касательную к окружности, параллельную CD. Так как ABEF – описанный четырехугольник, то АВ + EF = BЕ + AF. Но ВЕ = ВС – ЕС и AF = AD – FD, следовательно, EF + ЕС + FD = BC + AD – АВ. По условию, АВ + CD = BC + AD, или BC + AD – АВ = CD. Получается, EF + ЕС + FD = CD, то есть в четырехугольнике ЕСDF одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично доказывается, что CD не является секущей.

11. Свойство вписанного четырехугольника.

Теорема: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов. Доказательство через вписанные углы.

Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность. Доказательство: от противного с использованием теоремы о секущих, пересекающихся в окружности, и задачи 718 (стр. 189).