52. Сети Петри: определение, структура, способы задания.

Определение 1:

Обычной сетью Петри называется конечный двудольный ориентированный граф <V, E>, где V = P  T, P  T =  — разбиение множества вершин, E  (PT)  (TP) – отношение инцидентности вершин.

Определение 2:

Сеть Петри N является четверкой N = (P, Т, I, O), где

• P={p₁, p₂, ..., p_n} — конечное множество позиций, n0;

• T={t₁, t₂,...,t_m} — конечное множество переходов, m0;

• I: T  P^ — входная функция, сопоставляющая переходу мультимножество его входных позиций;

• О: T  P^ — выходная функция, сопоставляющая переходу мультимножество его выходных позиций.

Позиция pP называется входом для перехода tT, если pI(t). Позиция pP называется выходом для перехода tT, если pO(t). Структура сети Петри определяется ее позициями, переходами, входной и выходной функциями.

Способы представления сети Петри:

1) Перечисление элементов множеств позиций, переходов, перечисление элементов комплектов входной и выходной функций. Пример:

N =(P, T, I, O),

P={p₁, p₂, p₃},

T={t₁, t₂},

I(t₁)={ p₁, p₁, p₂}, O(t₁)={p₃},

I(t₂)={ p₁, p₂, p₂}, O(t₁₂)={p₃}.

2) Наиболее наглядным представлением сети Петри является её графическое представление, которое представляет собой двудольный, ориентированный мультиграф.

Граф сети Петри обладает двумя типами узлов: кружок, представляющий позицию сети Петри; и планка, представляющая переход сети Петри. Ориентированные дуги этого графа (стрелки) соединяют переход с его входными и выходными позициями. При этом дуги направлены от входных позиций к переходу и от перехода к выходным позициям. Кратным входным и выходным позициям перехода соответствуют кратные входные и выходные дуги. (Для графов с большой кратностью используется пучок дуг, помеченный числом кратности, а не изображением всех дуг.)

Пример:

53. Маркированные сети Петри. Начальная и текущая маркировки. Активные переходы и понятие селектора. Срабатывание перехода.

Маркировка – это присвоение фишек позициям сети Петри.

Маркировка  сети Петри C = <P, T, I, O> есть функция, отображающая мн-во позиций Р в мн-во неотр. чисел Z⁺.  : P -> Z⁺.

Также маркировка  может быть определена как n-вектор  = (₁, …, _n), где n = |P| и каждое _i  Z⁺. Вектор  определяет для каждой позиции p_i сети Петри кол-во фишек _i в этой позиции.

Маркированная сеть Петри PN = <P, T, I, O,  > есть совокупность структуры сети Петри <P, T, I, O> и маркировки  .

Для сети Петри должна быть задана начальная маркировка ₀: PN = <P, T, I, O, ₀ > .

Для любой сети нач. маркировка не единственная. Все маркировки, кроме ₀ называются текущими.

Переход t_j называется активным или разрешённым в сети с маркировкой , если каждая из его входных позиций имеет число фишек, не меньшее числа дуг из позиции в переход: p_i  P [(p_i)  #(p_i, I(t_j))].

S()  T – множество разрешённых переходов в маркировке . S явл. множеством-слектором.

Переход срабатывает (запускается) удалением всех разрешающих фишек из его вх. позиций и последующим помещением в каждую из его вых. позиций по 1-ой фишке для каждой дуги. Срабатывание перехода заменяет маркировку сети  на новую маркировку ’. Т.к. запустить можно только разрешённый переход, то кол-во фишек в позициях всегда неотрицательно.

Определение. Переход t_j в маркированной СП с маркировкой  может быть запущен всякий раз, когда он разрешён. В результате запуска разрешённого перехода t_j образуется новая маркировка ’, определяемая следующим соотношением: ’(p_i) = (p_i) – #(p_i, I(t_j)) + #(p_i, O(t_j)).