3Dмодель процесса взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой

На сегодняшний день существуют два основных метода численного решения 3-х мерных задач электродинамики: конечных элементов –FEM[6] и конечных разностей – FDTD[7].Для проведения модельных расчетов нами был выбран метод конечных разностей FDTD(Finite-differencetime-domain), из-за относительной простоты и гибкости его программной реализации.

Оценим размеры и положение расчетной области в вакуумной камере токамака. Установки такого типа бывают разных размеров, от малых, например START, до крупных таких как JET, JT – 60U и строящийся ITER. Осуществим привязку модели к масштабу малых токамаков. Токамак START имеет следующие параметры плазменного образования: аспектное отношение А = 1.5-2, большой радиус плазмы порядка R = 0.3 м, малый радиус плазмы порядка a = 0.23 м. Зная параметры пучка зондирующего излучения импульсного рефлектометра, а также типовую форму и положение плазмы, требуется оценить минимальную область пространства внутри плазмы в которой будет осуществляться моделирование. Поперечное сечение пучка зондирующего излучения на внешней границе плазмы составляет порядка 10 х 10 см. Глубина проникновения излучения в плазму для рефлектометра не должна превышать величины малого радиуса плазмы a = 0.23 м. В итоге, с учетом расходимости пучка в вакууме, грубая оценка минимального расчетного объема дает величину 23 х 11 х 11 см³. Границы расчетного объема относительно общей конструкции показаны на Рисунке 1.

Для упрощения расчетов при моделировании распространения электромагнитных волн на участке «антенна – граница плазмы» будет принято допущение, что электромагнитные волны распространяется там как в свободном пространстве. Процессы распространения излучения в антенной системе и детектирования будут моделироваться с использованием упрощенных детерминированных зависимостей. В этом случае, наиболее существенной задачей моделирования станет вычисление параметров поля электромагнитного излучения в отмеченной на Рисунке 1 области расчетного объема плазмы. Последующие задачи моделирования сводится к использованию информации о поле волны в данном объеме для расчета времени регистрации отраженного излучения приемной антенной и вычислению времени пролета волны, которое можно сравнить с экспериментальными данными, непосредственно регистрируемыми импульсным радаром. При сделанных допущениях сложность решения этих задач несравнимо ниже расчета распределения поля волны в плазме.

Рисунок 1.Схема рефлектометра, вакуумной камеры и плазмы токамака в вертикальной и горизонтальной проекциях

На установках УТС во многих представляющих практический интерес случаях можно считать, что диэлектрическая проницаемость плазмы преимущественно определяется плотностью электронов. Для того, чтобы промоделировать распространение электромагнитной волны в трехмерной среде с заданным распределением комплексной диэлектрической проницаемости достаточно сложного профиля будет использоваться метод FDTD[7].

Особенности расчетного объема и расчетные соотношения

После определения границ расчетной области плазмы, метод FDTD предусматривает проведение ее дискретизации по алгоритму Йее[8]. Это приводит к выделению в трехмерной пространственной области расчета дискретных узлов, и расчету в узлах составляющих компонентов электромагнитного поля по следующим расчетным соотношениям:

(1)

(2)

Где, E_x, E_y, E_y – проекции вектора электрической напряженности на осиOX, OY и OZ соответственно, H_x, H_y, H_z – проекции вектора магнитной напряженности на оси OX, OY и OZ соответственно,n – номер дискретного отсчета по оси времени, i–координата по оси OX,j–координата по оси OY,k–координата по оси OZ,ε–диэлектрическая проницаемость, μ – магнитная проницаемость,σ – удельная электропроводность, Δt – величина шага по времени, J_source –плотность тока источника, M_source–плотность магнитного потока источника

Вывод расчетных соотношений (1-2) подробно описан в [9].Метод FDTD может быть применен на практике только в том случае, если основная расчетная область будет окружена со всех сторон поглощающим электромагнитное излучение слоем, как показано на Рисунке 2.

В настоящее время наиболее эффективно использовать поглощающий слой типа PML[10] или его модификации CPML[11] и UPML[12,13]. При этом, весь расчетный объем делится на две области: основную расчетную область, в которой ведется расчет интересующих взаимодействий электромагнитных волн с плазмой, и поглощающую область, обеспечивающую поглощение любого падающего на него излучения, и необходимая для корректности расчета в основной области.

Рисунок 2. Слева направо, срез расчетного объема по оси OY и OX

Расчетные соотношения для поглощающей UPMLобласти аналогичны выражениям для основной расчетной области, но с учетом условий поглощения любого падающего на него излучения:

(3)

(4)

(5)

(6)

Где, D и B – вспомогательные коэффициенты, E–вектор электрического поля, H– вектор магнитного поля, нижний индекс вектора показывает, что взята его проекция на соответствующую ось координат, верхний индекс – номер дискретного отсчета по оси времени, i–координата по оси OX, j–координата по оси OY, k–координата по оси OZ,ε – диэлектрическая проницаемость, σ – удельная электропроводность, k_x – проекция волновой вектора на соответствующую ось системы координат, Δt – величина шага по времени, ε–диэлектрическая проницаемость, μ – магнитная проницаемость.

Выражения для остальных проекций аналогичны, изменяются только индексы, вывод расчетных соотношений (3-6) подробно описан в [9].