13.Геометричні ймовірності. Задача про зустріч. Задача Бюффона.

У випробуваннях з незчисленною кількістю результатів для підрахунку ймовірностей вводять поняття геометричної ймовірності. , де -це міра області A. Приклад : Нехай в нас є поле розміром 50 на 100 (м). Перед нами стоїть ціль, яка ймовірність того, що парашутист попадало в коло на цьому полі радіусом 10(м). Рішення : . Тоді . Задача про зустріч: Дві особи В і C умовилися зустрітися у визначеному місці між 14 і 15 годинами дня. Особа, що прийшла першою чекає другу впродовж 10 хвилин, після чого вирушає. Чому дорівнює ймовірність зустрічі цих осіб, якщо кожна з них може прийти у будь-який час протягом вказаної години незалежно від іншої? Розв’язання. Рахуватимемо інтервал з 14 до 15 годин дня відрізком [0,1] з довжиною 1 година. Нехай x і y — моменти приходу В і C (точки відрізка [0,1]). Всі можливі результати експерименту – множина точок квадрата із стороною 1 (рис. 2.2): Ω ={(x, y): 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1}=[0, 1]×[0, 1] . Можна вважати, що експеримент зводиться до кидання точки навмання в квадрат. При цьому сприятливими результатами є точки множини А: A={(x, y): x − y ≤1/6} (10 хвилин = 1/6 години). Тобто попадання у множину А навмання кинутої в квадрат точки U означає, що В і C зустрінуться. Тоді ймовірність зустрічі дорівнює

З адача Бюффона: На площині накреслені паралельні прямі, що знаходяться одна від одної на відстані 2a . На площину навмання кинута голка довжина якої 2l < 2a . Яка ймовірність того, що голка пересіче одну з прямих? Розв’язання. Зрозуміємо, що означає тут “навмання кинута голка”. Усі можливі положення голки (відрізки) на площині повністю визначаються положенням середини голки і кутом повороту голки відносно якого-небудь напряму. Причому дві ці змінні (положення центру і кут повороту) міняються незалежно один від одного (рис. 2.3). Позначимо через x ∈[0,a] відстань від середини голки до найближчої прямої, а через ϕ ∈[0,π ] — кут між якимсь напрямом прямих і голкою. Множина положень голки цілком визначається вибором навмання точки з прямокутника Ω = [0,π ]×[0,a]. (рис. 2.4). Голка пересікає найближчу пряму, якщо координати вибраної навмання точки задовольняють нерівності: x < l ⋅sinϕ . Площа області A ⊂ Ω , точки якої задовольняють такій нерівності, рівна . Оскільки μ(Ω) = a ⋅π , то шукана ймовірність дорівнює .

14. Ймовірність появи хоча б однієї випадкової події. Задача про товсту монету.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий

А₁, А₂,…, А_п равна р (А) = 1 — q₁q₂…q_n , (2.9)

где q_i — вероятность события , противоположного событию А_i .

Доказательство.

Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А₁, А₂,…, А_п, то события А и  противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей равна 1. Кроме того, поскольку А₁, А₂,…, А_п  независимы, то независимы и , следовательно, р() = . Отсюда следует справедливость формулы (2.9).

Задача про товсту монету 

Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась бы 1/3?

Для решения этой задачи нужно знакомство с принципом симметрии.

Решение задачи

Для решения задачи нам понадбится следующий результат. Поверхность куска сферы, заключенного между двумя паралельными плоскостями, пропорциональна расстоянию между этими плоскостями, так что толщина нашей монеты должна составлять 1/3 диаметра сферы. Пусть R – радиус сферы, а r – радиус монеты. Согласно теореме Пифагора:

Итак высота ребра монеты составляет около 35% ее диаметра