48. Вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. Інтервальні оцінки параметрів розподілу.

Нехай — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:

.

Вибіркові дисперсії s², S² — це числові характеристики розсіювання значень випадкової вибірки, що являє собою сукупність результатів незалежних спостережень. Визначаються в звичайних сукупностях вимірів. У теорії точності вимірювань їх ще називають дисперсіями вимірів, або просто дисперсіями.

Є випадкова вибірка обсягу n.

• Вибірковою дисперсією s² називається половина середнього квадрата відхилень значень вибірки:

.

Дисперсія s² — це різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:

.

Дисперсія s² є оцінка генеральної дисперсії .

• Вибірковою дисперсією S² називається половина середнього квадрата різниць значень вибірки:

.

Дисперсія S² є різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і середнього значення добутку двох її елементів:

.

Дисперсія S² — це оцінка генеральної дисперсії .

Інтервальні оцінки. Точкова оцінка визначається одним числом. Середня вибіркова хв і вибіркова дисперсія Dв - точкові оцінки. Але при малих об’ємах вибірки точкові оцінки приводять до значних відхилень від оцінюваного параметру. Тому при малих вибірках використовують інтервальні оцінки, які визначаються випадковими кінцями інтервалу, тобто двома числами.

49.Надійні межі для математичного сподівання у випадку нормального розподілу.

Нормальний закон розподілу імовірностей

Цей закон ще називається законом Гаусса, оскільки був запропонований ним при дослідженні помилок точних вимірювань (зазначимо, що помилки грубих вимірювань мають інший розподіл імовірностей). Закон базується на двох посилках:

1)помилки різного знака, однакові за розміром, рівноімовірні;

2)малі помилки більш імовірні, ніж великі (промахи).

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної числової змінної.

Надійні межі математичного сподівання

Типовою оцінкою називають оцінку, яка визначається одним числом. Якщо вибірку вибирати малою та типовою, оцінки визначено великі похибки.

Інтервальною оцінкою називається оцінка двома числами, початком і кінцем інтервалу. Ясно що точність буде тим вища, чим величина буде меншою.

Якщо ознака (випадкова величина Х) має нормальний розподіл з параметрами  ,  , тобто  , то вибіркова середня  для будь якого n (а не тільки при n->∞) має нормальний закон розподілу  .

Таким чином, якби була відома генеральна дисперсія, то довірчий інтервал можна було б побудувати аналогічно до розглянутого раніш і при малих n. Зауважимо, що в такому випадку нормоване відхилення вибіркової середньої   має стандартний нормальний розподіл N(0,1).

50.Статистична гіпотеза та загальна схема її перевірки. Критерій Пірсона.

Критерій Пірсона, чи критерій χ ² (Хі-квадрат) - найбільш часто вживається критерій для перевірки гіпотези про закон розподілу. У багатьох практичних завданнях точний закон розподілу невідомий, тобто є гіпотезою, яка вимагає статистичної перевірки.

розподіл

Кажуть, що неперервна випадкова величина має розподіл з степенями вільності, якщо її щільність розподілу ймовірностей визначається за формулою :

де

Числові характеристики:

Можна довести, що якщо незалежні випадкові величини розподілені за нормальним законом, то випадкова величина має - розподіл з n степенями вільностей.

Статична гіпотеза

Нехай в (статистичному) експерименті доступна спостереженню випадкова величина , розподіл якої невідомо повністю або частково. Тоді будь-яке твердження, що стосується називається статистичної гіпотезою. Етапи перевірки статистичних гіпотез:

Формулювання основної гіпотези і конкуруючої гіпотези . Гіпотези повинні бути чітко формалізовані в математичних термінах.

Завдання рівня значущості , на якому в подальшому і буде зроблено висновок про справедливість гіпотези. Він дорівнює ймовірності допустити помилку першого роду.

Розрахунок статистики критерію такий, що:

її величина залежить від вихідної вибірки ;

за її значенням можна робити висновки про істинність гіпотези ;

сама статистика повинна підкорятися якомусь відомому закону розподілу, так як сама є випадковою в силу випадковості .

Побудова критичної області. З області значень виділяється підмножина таких значень, за якими можна судити про істотні розбіжності з припущенням. Його розмір вибирається таким чином, щоб виконувалося рівність . Ця множина і називається критичною областю.

Висновок про істинність гіпотези. Спостережувані значення вибірки підставляються в статистику і по попаданню (або непопадання) в критичну область виноситься рішення про відкиданні (або прийняття) висунутої гіпотези

19