34. Закон розподілу Пуассона
Дискретна
випадкова величина має розподіл Пуассона,
якщо вона набуває зліченної множини
значень 
з імовірностями 
Цей
розподіл описує кількість подій, які
настають в однакові проміжки часу за
умови, що ці події відбуваються незалежно
одна від одної зі сталою інтенсивністю.
Розподіл застосовується в задачах
статистичного контролю якості, у теорії
надійності, теорії масового обслуговування.
Математичне сподівання і дисперсія в
цьому розподілі однакові і дорівнюють
а.
Для цього розподілу складено таблиці
щодо різних значень 
(0,1—20).
У таблицях для відповідних значень а наведено
ймовірності 
Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли λ=n*p
Числові характеристики положення про розподіл Пуассона
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності.
M(X)=λ
Модою випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення.
Числові характеристики розкиду
Дисперсією випадкової величини Х називають математичної очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
Середнім квадратичним відхиленням (стандартним відхиленням або стандартом) випадкової величини Х називається арифметичне значення кореня квадратного з її дисперсії. D(X)=λ
35.Геометричний розподіл та його числові характеристики.
Нехай
проводиться n незалежних експериментів,
у кожному з яких з однаковою ймовірністю
р може відбутися деяка подія А. Випробування
закінчуються, як тільки подія А
відбулася. Тобто, якщо А з’явилася у
k-му випробуванні, то в перших (k-1)
випробуваннях подія А не відбулася.
Випадкова величина Х – номери першого
успішного випробування в схемі Бернуллі
набуває значень 1, 2, 3, …, k, … з
ймовірностями P{X=k}=
.
Тоді
випадкова величина Х має геометричний
розподілу з параметром р(що можна
записати у вигляді X
∈Gp
) і
рядом
розподілу
(табл.
5.3):
Таблиця 5.3 - Геометричний ряд розподілу
|
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
|
p |
(1-p)*p |
|
… |
|
… |
Сума
ймовірностей у другому рядку ряду
розподілу дорівнює одиниці.
Знайдемо
числові характеристики випадкової
величини: математичне
сподівання M(X)=
. Дисперсія
D(X)=
. Середнє
квадратичне відхилення : σ(X)=
36. Початкові та центральні моменти. Асиметрія та ексцес.
Для дискретної випадкової величини k–й початковий момент визначається за формулою
Для неперервної випадкової величини k–й початковий момент визначається за формулою
Визначення
4.11. Відхилення випадкової величини від
математичного сподівання
називають
центрованою випадковою величиною.
Визначення 4.12. Центральним моментомs-го
порядку µs називають математичне
сподівання s-го степеня центрованої
випадкової величини
Для дискретної випадкової величини s–й центральний момент визначається за формулою
Для неперервної випадкової величини s–й центральний момент визначається за формулою
Оцінку відхилення емпіричного розподілу від нормального проводять за допомогою таких статистичних характеристик, як коефіцієнти асиметрії, тобто ступеня скошеності варіаційного ряду розподілу відносно його симетрії вправо або вліво, і гостровершинності – ексцесу. При зміщенні вправо від центру асиметрія матиме додатне число, при зміщенні вліво – від’ємне.
Коефіцієнт асиметрії (As) обчислюється як відношення центрального моменту третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення
Характер скошеності функції щільності розподілу Р(х) визначається значенням асиметрії As
.
При A=0 крива ймовірності р(х) симетрична,
при А>0 витягнута її права частина, а
при А<0 – ліва частина спаду. Коефіцієнт
асиметрії є нормованим моментом третього
порядку (µ3)
Коефіцієнт ексцесу (англ. Kurtosis) —
числова характеристика розподілу
ймовірностей дійсної випадкової
величини.
Коефіцієнт ексцесу характеризує
«крутість», тобто, стрімкість підвищення
кривої розподілу у порівнянні з нормальною
кривою.
Ексцесом 
(за
Фішером) теоретичного розподілу називають
характеристику, що обчислюється за
наступною формулою:
,
де 
— центральний
момент четвертого порядку,
— дисперсія.