1. Предмет комбінаторики. Правила суми і добутку. Перестановки без повторення . Перестановки з повтореннями.
Комбінаторика – розділ математики, предметом якого є теоріяскінченних множин
Сполучення з повтореннямиПоєднанням з повтореннями називаються набори, в яких кожен елемент може брати участь кілька разів.
Перестановки без повторень
- комбінаторні сполуки, які можуть відрізнятися
один від
одного лише порядком елементів
,що входять
до них.
Послідовність довжини n, складена з k різних символів, перший з яких повторюється n1 раз, другий - n2 раз, третій - n3 раз, ..., k-й - nk раз (де n1 + n2 + ... + nk = n) називається перестановкою з повтореннями з n елементів.
В основі комбінаторики лежать два елементарні правила – суми і добутку.
Сформулюємо правило суми.
( ) , ( ) , N A m N B n A B = = ∩ = Ø ⇒ ∪ = + N A B m n ( ) .
Правило добутку (основне правило комбінаторики): якщо I-у дію можна здійснити n1 способами, II-у, яка не залежить від першої, – n2 способами, ..., k- ту, яка не залежить від усіх попередніх, – nk способами, то першу, другу, ..., k-ту дії послідовно можна здійснити n1n2...nk способами.
2.Розміщення без повторення. Розміщення з повтореннями.
Розміщення
з повтореннями
по m
елементів n-елементної
множини A
– це послідовність елементів множини
A,
що має довжину m.Приклад.
При A={a,
b,
c}
розміщення з повтореннями по два елементи
– це пари (a,a),
(a,b),
(a,c),
(b,a),
(b,b),
(b,c),
(c,a),
(c,b),
(c,c).
Розміщення
по m
елементів n-елементної
множини A,
де m£n
– це послідовність елементів множини
A,
що має довжину m
і попарно різні члени. Приклад. При A={a,
b,
c}
розміщення по два елементи – це пари
(a,b),
(a,c),
(b,a),
(b,c),
(c,a),
(c,b).
3.
Комбінації без повторення. Рівність
С
=С
,
її комбінаторний зміст.
Про
комбінації говорять у тих випадках,
коли порядок появи елементів під час
витягування з базової сукупності не є
істотним. Число комбінації без повторень
з n
елементів
по m
елементів позначається символом
.
Кількість можливих комбінації витягуваних
елементів буде дорівнювати кількості
розрізнюваних перестановок сукупності,
в якій є рівно дві групи нерозрізнюваних
елементів:
або
.
Комбінація
без повторень матиме сенс лише тоді,
коли m≤n.
При чому за точної рівності m=n
існує лише одна комбінація, яка дорівнює
базовій. Числа
мають такі очевидні властивості:
1.
2.
Якщо є деяка комбінаторна конфігурація без повторень, побудована без урахування порядку, то число елементів у такій же комбінатрній конфігурації, але з урахуванням порядку, буде у М разів більше, де М – число можливих різних перестановок об'єктів, що складають елемент.
4.РівністьС
=С
+С
,
її комбінаторний зміст
.
. 
.
Ми можемо вибирати підмножини з
елементів наступним чином:
фіксуємо один
елемент; число
-елементних підмножин,
що містять цей елемент,
дорівнює
; число
-елементних підмножин,
що не містять
цей елемент,
дорівнює
.
Доведення теореми (за допомогою комбінаторних міркувань):
Нехай множина A складається з n елементів, це число всіх -елементних підмножин множини А.
Всі k- елементні підмножини множини A розбиваються на 2 групи:
1) підмножини, в які входить a
2)підмножини, в які не входить a
Число підмножин у першій групі: (для того, щоб скласти підмножину першої групи, потрібно до елемента {a} вибрати ( k-1) елемент з (n-1) – елементної множини A \ {a})
Число підмножин у другій групі (для того, щоб скласти підмножину другої групи, потрібно вибрати k елементів з (n-1) - елементної множини A \ {a} )
Значить,