1 .3.2. Модели реальных пассивных элементов

В идеальных элементах электрических цепей протекает лишь один процесс преобразования энергии: либо поглощения энергии, либо накопления, либо выделения. Процессы, протекающие в реальных элементах, гораздо сложнее, чем в идеальных, поскольку в них протекает одновременно несколько процессов преобразования энергии. Причем, один из процессов является преобладающим (основным), а остальные проявляются в меньшей степени, они как бы мешают основному процессу, и потому их называют паразитными. Модели реальных элементов называют схемами замещения, или эквивалентными схемами, они состоят из идеальных элементов (рис. 1.15), которые отражают процессы, протекающие в реальных элементах. При составлении эквивалентных схем учитывают конструктивные, технологические и частотные особенности реальных элементов.

И ндексами «0» обозначены основные элементы схем замещения, а индексами «s» «p» –вспомогательные, соединенные последовательно или параллельно к основному элементу, которые учитывают дополнительные процессы, протекающие в элементах. Их называют паразитными элементами, так как они мешают работе основного. Например, для всех элементов на высоких частотах необходимо учитывать индуктивности выводов элементов, а также емкость, которая всегда существует между ними. Для емкости необходимо учитывать несовершенство диэлектрика между пластинами (r_p – сопротивление утечки), r_s – сопротивление контактов; для индуктивности r_s – резистивное сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности.

1.3.3 Идеализированные активные элементы

1. Идеальный источник ЭДС – это такой источник, напряжение на зажимах которого не зависит от протекающего через него тока (рис. 1.16, а), т.е. U_н = E = const, при var (R_н, I_н). В обозначении «↑» показывает направление увеличения потенциала. Реальным источником, приближающимся к идеальному источнику ЭДС, является аккумулятор.

E

I_н

R_н

U_н

E

R_н

I_н

U_н

R_i

U_н

I_кз

E

R_i = 0

R_2i

R_1i<R_2i

а б в

Рис. 1.16

Идеальный источник ЭДС невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем I_н = U_н /R_н. Если R_н   , то P_ист = EI_н   .

Для реальных источников ЭДС (рис. 1.16, б) необходимо учитывать их внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости напряжения на нагрузке от тока нагрузки

U_н = E – I_н R_i,

Зависимость U_н (I_н) называется внешней характеристикой источника ЭДС (рис. 1.16, в). Чем меньше R_i, тем ближе источник к идеальному источнику ЭДС. Идеальный источник ЭДС должен иметь нулевое внутреннее сопротивление R_i = 0.

2) Идеальный источник тока. Это источник, вырабатывающий ток I через сопротивление нагрузки, величина которого не зависит от напряжения на нагрузке и ее сопротивления R_н (рис. 1.17, а), т.е. I_н = I = const, при var (U_н, R_н).

Идеальный источник тока невозможен, так как мощность такого источника должна быть бесконечной. Рассчитаем U_н = I_нR_н. Если R_н , то P = I_нU_н .

I

I

I_н

R_н

U_н

I

I

I_н

R_н

U_н

R_i

I_i

U_н

I_н

I

R_i < 

R_i = 

а б в

Рис. 1.17

Для реального источника тока (рис. 1.17, б) необходимо учитывать его внутреннее сопротивление R_i, что приводит к зависимости тока через нагрузку от сопротивления нагрузки

I_н = I – I_i, I_i = IR_н /(R_i+R_н).

Отсюда следует, что при увеличении сопротивления нагрузки часть тока I проходит через внутреннее сопротивление R_i, что приводит к уменьшению тока через нагрузку. Идеальный источник тока должен иметь внутреннее сопротивление R_i = , тогда I_i = 0. На рис. 1.17в показана внешняя характеристика источника тока.

1.3.4. Зависимые активные элементы

Все активные элементы могут быть разделены на зависимые и независимые. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых не зависят от напряжения и тока на других участках электрической цепи, называются независимыми. Источники, которые создают напряжение и ток, величины которых зависят от напряжения и тока на других участках цепи, называются зависимыми. Они приведены на рис. 1.18 и имеют следующие названия:

1) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН, рис. 1.18, а). Его параметром является K_u = U_2m /U_1m – коэффициент передачи по напряжению. Его входное сопротивление бесконечно велико R_вх=, выходное равно нулю R_вых=0.

2) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ, рис. 1.18, б). Его параметром является K_iu = U_2m /I_1m – коэффициент преобразования тока в напряжение, входное и выходное сопротивления равны нулю R_вх= R_вых=0.

3) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН, рис. 1.18, в). Его параметром является K_ui = I_2m /U_1m – коэффициент преобразования напряжения в ток, R_вх=, R_вых=.

U₁

U₁

I₁

I₁

U₂ = K_uU₁

I₂ = K_uiU₁

U₂ = K_iuI₁

I₂ = K_iI₁

а б в г

Рис. 1.18

4) Источник тока, управляемый током (ИТУТ, рис. 1.18, г). Его параметром является K_i = I_2m /I_1m – коэффициент передачи по току, R_вх=0, R_вых=.

1.4. Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа

В теории цепей рассматриваются исключительно эквивалентные схемы и в дальнейшем под термином «электрическая схема» или просто «схема» подразумевается именно эквивалентная схема. Схема электрической цепи определяет, таким образом,

• состав идеализированных активных и пассивных элементов моделирующей цепи,

• параметры этих элементов,

• способ соединения их между собой.

Кроме идеализированных активных и пассивных элементов на схемах изображаются также идеализированные вспомогательные элементы: выводы цепи или ее частей, соединительные проводники и элементы коммутации (переключатели, ключи). Идеализированные вспомогательные элементы не обладают сопротивлением, емкостью или индуктивностью.

Характер соединения между идеализированными элементами цепи определяет ее топологические (структурные) свойства, для описания которых используют понятия ветви, узла и контура.

Ветвь – это участок цепи, по которому протекает общий для всех элементов ток. Ветвь может состоять из одного элемента или нескольких, которые включены последовательно.

Узел – это место соединения ветвей, причем место соединения двух ветвей называется устранимым узлом (две такие ветви могут быть заменены одной, т.к. токи этих ветвей имеют одинаковые значения). При сокращенном топологическом описании устранимые узлы во внимание не принимаются, и узлом считается место соединения трех и более ветвей.

Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Контур характеризуют направлением обхода, причем каждая ветвь и каждый узел, входящие в контур, проходятся только один раз. Направление обхода выбирают произвольно и указывают изогнутой стрелкой.

Математическое описание процессов в электрических цепях базируется на уравнениях двух типов: компонентных и топологических.

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) устанавливают связь между током и напряжением каждой ветви. Для ветви, содержащей один идеализированный элемент, они вырождаются в рассмотренные ранее уравнения, связывающие между собой ток и напряжение на зажимах этого элемента. Для ветви, содержащей несколько элементов, уравнение усложняется и имеет вид интегро-дифференциального уравнения.

Топологические уравнения отражают свойства цепи, которые определяются ее топологией и не зависят от того, какие элементы входят в состав ее ветвей. К топологическим уравнениям относятся уравнения, составленные на основе первого и второго законов Кирхгофа. Топологические уравнения являются алгебраическими.

2. Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов электрической цепи: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи в любой момент времени равна нулю.

,

где n – номер ветви в узле.

Для узла выполняется закон сохранения заряда: сколько заряда переносится к узлу втекающими токами, столько же заряда выходит из узла, т.е. в узле заряды не накапливаются и не исчезают.

С лагаемые суммы берут со знаком «+», если токи втекают в узел, и со знаком «–», если токи вытекают.

Для схемы на рис.1.20 первый закон Кирхгофа записывается следующим образом:

I₁ + I₂ + I₃ – I₄ = 0.

3 . Второй закон Кирхгофа. Он устанавливает связь между напряжениями на элементах контура (рис. 1.21). Для замкнутого контура выполняется закон сохранения энергии. Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и при перемещении заряда вдоль замкнутого контура совершается работа, которая при возврате заряда в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи: алгебраическая сумма напряжений на элементах контура в любой момент времени равна нулю:

,

где k – номер элемента контура.

Для записи второго закона Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать условно-положительное направление обходов элементов контура (обычно по часовой стрелке).

2. Указать положительное направление напряжения на элементах контура.

3. Записать алгебраическую сумму напряжений, в которой со знаком «+» берут те напряжения, которые совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «–» те напряжения, которые не совпадают.

Для схемы на рис. 1.6 второй закон Кирхгофа записывается следующим образом:

U_R1 + U_R2 – E₁+Е₂ = 0.

Часто используют другую формулировку второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в контур

,

где n – номер пассивного элемента контура, k – номер активного элемента контура. Для схемы на рис. 1.6 второй закон Кирхгофа по второй форме записи имеет вид:

.

Для записи второго закона Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать условно-положительное направление обходов элементов контура (обычно по часовой стрелке).

2. Записать алгебраическую сумму напряжений, в которой со знаком «+» берутся напряжения, которые по направлению совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «–» напряжения, которые не совпадают.

3. Записать алгебраическую сумму источников ЭДС, в которой со знаком «+» берутся ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура, и со знаком «–» те ЭДС, которые не совпадают.

Так как законы Кирхгофа устанавливают взаимосвязи токов и напряжений при различных способах соединения элементов, то уравнения, составленные по законам Кирхгофа, называют уравнениями соединений.

Контрольные вопросы

1. Что называется электрической цепью?

2. Из каких основных элементов состоят электрические цепи?

3. Чем отличаются типы электрических схем?

4. Что понимают под электрическим током, электрическим зарядом, электрическим потенциалом и напряжением?

5. Если p(t) > 0, то на данном участке электрической цепи происходит выделение мощности?

6. Какие элементы цепи называются идеализированными.

7. Как связаны переменные ток и напряжение на емкости и индуктивности?

8. Какие элементы схем называют пассивными?

9. Чему равна энергия запасенная емкостью и индуктивностью?

10. По какому закону изменяется ток через емкость, если напряжение на нем линейно возрастает во времени.

11. Чему равно внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС?

12. Как называют схемы (модели) реальных элементов, составленные из идеализированных элементов?

13. Как связаны токи и напряжения в идеальном трансформаторе?

14. Запишите первый закон Кирхгофа (для узла А на рис.1.22).

15. Запишите второй закон Кирхгофа (для контура J₁ на рис.1.22).

18