13.4. Гармоническая линеаризация
Данный метод используется для приближенного определения наличия автоколебаний и устойчивости нелинейных систем любого порядка.
Пусть
дано некоторое нелинейное выражение
вида
и задано
;
.
Тогда
.
Разложим функцию F в ряд Фурье:
высшие гармоники.
Предположим, что первое слагаемое равно нулю, т. е. в разложении нет постоянной составляющей.
Если
принять во внимание, что из исходных
выражений следует
и
,
то можно получить
+ высшие гармоники,
где q и q – коэффициенты гармонической линеаризации.
;
.
Таким образом, исходное уравнение при х = аsint с точностью до высших гармоник аналогично линейному. В этом и заключается метод гармонической линеаризации.
Если значения амплитуды a и частоты постоянны (периодический процесс), то и коэффициенты q и q постоянны. В переходном процессе амплитуда и частота непостоянны. В этом и заключается отличие данного метода от обычных методов линеаризации. Это отличие позволяет при анализе систем обнаружить особенности работы НСАУ.
Рассмотрим простой частный случай y = F(x).
Если
эта кривая не имеет гистерезисной петли,
то q
= 0. Тогда
+ высшие гармоники;
Таким образом, криволинейная характеристика заменяется прямой линией, тангенс угла которой зависит от амплитуды входного сигнала.
Найдем гармонически линеаризованное уравнение для замкнутой нелинейной системы в целом. Линейная часть описывается ДУ следующего вида любой сложности:
.
Нелинейная часть описана простым соотношением:
.
После линеаризации уравнение нелинейного звена будет иметь вид:
.
Уравнение не имеет высших гармоник. Объясняется это следующим. Как правило, в замкнутой САУ линейная часть обладает свойствами низкочастотного фильтра. Это легко обнаружить при рассмотрении ЛАЧХ линейной замкнутой САУ.
Общее характеристическое уравнение замкнутой НСАУ имеет вид:
.
Если в системе имеют место автоколебания, т. е. имеются незатухающие колебания с амплитудой аП и частотой П, то коэффициенты этого уравнения становятся постоянными. С другой стороны, из теории линейных САУ следует, что имеет место пара чисто мнимых корней характеристического уравнения. Поэтому, чтобы определить автоколебания нелинейных САУ, можно найти границу устойчивости соответствующей линейной САУ, т. е. можно воспользоваться критериями устойчивости линейной САУ (алгебраическими и частотными).
Заключение
В пособии были рассмотрены вопросы проектирования систем автоматического управления.
Особое внимание было уделено вопросам анализа и синтеза непрерывных линейных САУ. Кратко представлен раздел нелинейных систем. Представленный материал дает теоретическую базу для исследования дискретных и цифровых систем управления, изучение которых выходит за рамки данного курса.
Литература
1.Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: изд. Наука, гл. ред. физ-мат. лит. – 1975, 768 с.
2.Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под ред. В. А. Бесекерского. – М.: гл. ред. физ-мат. лит. – 1972, 588 с.
3. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. Учебное пособие – М.: Наука, 1989.
4. Солодовников В. В., Плотников В. Н., Яковлев А. В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. Учебное пособие. – М.: Машиностроение, 1985.
5. Теория автоматического управления /Под ред. А. А.Воронова – М.: Высшая школа, 1987.