13.2. Фазовое пространство

Для наглядного представления процессов нелинейных САУ вводится понятие «фазовое пространство», которое заключается в следующем.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы n-го порядка заменяется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

,

где x₁ – выходная величина;

x₂ – x_n – вспомогательные переменные;

f, g – входные воздействия (возмущающее и задающее);

x₁₀ = x₁(t = 0), x₂₀ = x₂(t = 0) … – начальные условия.

Эти дифференциальные уравнения можно представить геометрически в n-мерном пространстве. Например, при n = 3 (рис. 75).

Рис. 75. Трехмерное фазовое пространство

В реальном процессе управления в каждый момент времени величины x₁, x₂, x₃ имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве. Точка М называется изображающей. С течением времени величины x₁, x₂, x₃ изменяются, точка М перемещается по определенной траектории, показывая так называемую фазовую траекторию. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения САУ в процессе управления.

Рассмотрим пример фазовых траекторий некоторых линейных САУ. Пусть они описываются уравнением . В зависимости от параметров ДУ возможно несколько случаев. Некоторые из них представлены на рис. 76.

Рис. 76,а соответствует комплексным корням с отрицательной вещественной частью (наличие затухающего переходного процесса), случай рис. 76,б показывает фазовую траекторию апериодического затухающего процесса при отрицательных вещественных корнях характеристического уравнения.

ДУ представляют собой выражения для проекций скорости изображающей точки М на óси координат. Поэтому по значениям правых частей уравнений в каждый момент времени можно судить о движении точки М, и, следовательно, о поведении реальной НСАУ в процессе управления.

Фазовая траектория – это качественная характеристика НСАУ. Для определения количественных значений выходных сигналов необходимо решать дифференциальные уравнения в каждой точке.

Если дифференциальные уравнения составлены для отклонений выходного сигнала от установившихся значений, то для устойчивой системы фазовая кривая будет стремиться в начало координат.

а )

б)

Рис. 76. Примеры фазовых траекторий

13.3. Устойчивость по Ляпунову

Для нелинейных систем существует понятие устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области  можно найти такую область , что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, переходный процесс будет таким, что изображающая точка не выйдет из области  при любом сколь угодно большом значении времени t (рис. 77).

Аналитически условие можно представить в следующем виде.

При начальных условиях решение ДУ переходного процесса удовлетворяет неравенствам при любом сколь угодно большом t, начиная с некоторого t = T > 0.

Рис. 77. Устойчивость по Ляпунову