4. Затухающие колебания механической системы.

В любой реальной колебательной системе есть силы, препятствующие свободным колебаниям. При этом часть энергии системы безвозвратно теряется и колебания постепенно затухают. Следовательно, реальные свободные колебания всегда являются затухающими. В общем случае для механических колебаний сила сопротивления может быть записана как , где r – коэффициент сопротивления, а знак «-» обозначает, что противоположны по направлению. Тогда основное уравнение динамики для материальной точки запишется как и, введя обозначение , получим дифференциальное уравнение, описывающее затухающие механические колебания материальной точки:

Его решение: . Периодичность нарушается ; . - коэффициент затухания, - собственная (циклическая) частота, А – амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону А =

Затухающие электромагнитные колебания.

В реальном колебательном контуре часть энергии идет на выделение джоулева тепла в проводниках и активном сопротивлении катушки индуктивности. Следовательно, свободные колебания в контуре затухают тем быстрее, чем больше его активное сопротивление. Если выделить все активные сопротивления контура в виде R, то для реального колебательного контура (при условии I>0 при зарядке С)

+ -

- IR -

C + L

+

Введем обозначения: получаем уравнение для изменения со временем заряда q :

- коэффициент затухания, - собственная (циклическая) частота, q – заряд на конденсаторе,

Это уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний.

Его решение (из теории дифференциальных уравнений):

, таким образом, частота затухающих колебаний (циклическая) т.е.

Для U и I получим:

Введем обозначение , ,

Тогда

(Вспомним, что )

График функции для зависимости q от времени имеет вид

- сдвиг фаз между током и напряжением

Для характеристики затухания колебаний в контуре вводят понятие логарифмического декремента затухания.

Физический смысл логарифмического декремента затухания .

Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N_e , после совершения которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Другой важной характеристикой контура является его добротность Q.

Добротность- это умноженное на число колебаний N_e , после совершения которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Введем новое обозначение:

В случае слабого затухания колебаний .

Вынужденные колебания.

Колебания в системе, вызванные внешним периодически изменяющимся воздействием, называются вынужденными.

Рассмотрим колебательный контур, в который последовательно включен источник переменного напряжения. U_c , U_L , U_R - напряжения, соответственно, на конденсаторе С, на катушке индуктивности L(на схеме не изображена) и на омическом сопротивлении контура R.

+ -

+ I

+ –

Получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний Решение этого дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного q=q₁+q_2. Нас будут интересовать только установившиеся колебания. Поскольку в общем решении стоит множитель , быстро убывающий со временем, то вынужденные колебания практически описываются частным решением дифференциального уравнения q₂, которое может быть представлено в виде:

Или с учетом ранее введенных обозначений

Найдем

=

Введем обозначение , откуда (*)

- в фазе с током

- отстает по фазе от тока на

- опережает ток по фазе на

Это может быть представлено с помощью векторной диаграммы, если изобразить амплитуды напряжений U_Rm = RI_m, U_Cm = I_m / , U_Lm =I_m и их векторную сумму, равную Определенный из векторной диаграммы тангенс угла соответствует (*). Векторная диаграмма здесь изображена для внешнего напряжения, представленного не как как , а как . Величины: R_L и = R_C получили названия индуктивного R_L и емкостного R_C сопротивлений.

11