7.2 Резонанс напряжений. Последовательный колебательный контур.

Резонансная цепь с последовательным соединением , , (рис. 7-1) является простейшей цепью для излучения явления резонанса напряжений и подробно рассматривается ниже.

r

Рис. 7.1 Резонансная цепь с последовательным соединением , ,

Комплексноe сопротивление такой цепи зависит от частоты:

(7.1)

Резонанс напряжений наступает при частоте , когда

отсюда (7.2)

Мгновенные значения энергии выражаются формулами:

;

Если принять , то . Поэтому

и

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как

Мгновенные значения энергий и колеблются с удвоенной частотой около среднего значения , причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений, рис. 7.1) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении r, преобразуясь в тепловую энергию.

Иначе говоря, энергия, первоначально запасенная в контуре при подключении его к источнику, «колеблется» в режиме резонанса между и без участия в этом процессе источника. Именно поэтому контур называется колебательным.

Если бы колебательный контур не содержал сопротивления r, то при резонансе энергия не поступала бы в контур от источника. При наличии в последовательном контуре сопротивления r вся электрическая энергия, которая при резонансе поступает в контур от источника, расходуется в сопротивлении. За один период она равна

,

где – средняя мощность на зажимах контура при резонансе, – период.

Эта энергия обычно во много раз меньше той, которая запасена в колебательном контуре.

Мы уже встречались с понятием добротности индуктивной катушки (§ 2.8) и конденсатора (§ 2.9).

Умножив и разделив выражение для на получим:

здесь – средняя мощность, расходуемая в последовательном сопротивлении при амплитуде тока .

Аналогично рассуждая, т. е. умножив и разделив выражение на , получим: ,

где – средняя мощность, расходуемая в параллельном сопротивлении r при амплитуде напряжения на емкости .

Следовательно, добротность определяется в зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии, поглощаемой сопротивлением за период. В обоих случаях добротность равна отношению реактивной мощности (взятой с положительным знаком) к средней мощности.

В случае колебательной цепи также пользуются понятием добротности контура

(7.3)

Следует обратить внимание на то, что все величины, входящие в (7.3), соответствуют условию резонанса.

Для последовательного колебательного контура (рис. 7.1) на основании (7.3) получаем:

,

(7.4)

где называется характеристическим (или волновым) сопротивлением колебательного контура.

Характеристическое сопротивление составляет в среднем несколько сотен Ом, а сопротивление r несколько Ом; а сопротивление несколько Ом; поэтому добротность колебательных контуров, применяемых в радиотехнике достигает ≈100÷300.

Величина, обратная добротности контура, называется затуханием контура и обозначается:

(7.5)

Это наименование связано с тем, что при отключении колебательного контура от источника, когда контур замыкается накоротко, колебательный процесс затухает тем интенсивнее, чем больше величина .

а)

б)

Рис. 7-3. Нагруженный колебательный контур

В радиотехнических устройствах к одному из реактивных элементов колебательного контура, например к емкости, подключается нагрузка в виде сопротивления (рис. 7.3, а). Вследствие этого возрастают потери в цепи и уменьшается добротность.

Для определения добротности нагруженного контура параллельное соединение и можно заменить эквивалентным при резонансной частоте последовательным соединением емкости и «вносимого» сопротивления (рис. 7.3, б). Переписывая соотношение в виде:

,

и учитывая, что , получаем:

Как отмечалось при высоких частотах, емкости эквивалентных схем (рис. 7-3, а и б) могут быть приравнены друг к другу.

Таким образом, в схеме (рис. 7-3, б) содержатся те же реактивные элементы, а сопротивление равно .

Добротность нагруженного контура равна:

,

(7.6)

а затухание увеличивается на величину «вносимого» затухания

(7.7)

Если вносимое сопротивление значительно превышает сопротивление , то

;

(7.8)

При резонансе входное сопротивление последовательного контура минимально, а ток в контуре достигает максимальной величины. Поэтому в условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть значительно больше приложенного к цепи напряжения.

На рис. 7-4 показана векторная диаграмма тока и напряжения при резонансе. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения:

(7.9)

При >1 эти напряжения превышают по величине напряжение = , приложенное к колебательному контуру. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называется резонансом напряжений.

Рис. 7.4

Из (7-9) следует, что

(7.10)

т. е. добротность рассматриваемой цепи определяется отношением напряжения на или при резонансе к величине приложенного к контуру напряжения.

Из (7.2) следует, что резонанс напряжений может быть достигнут изменением параметров и (при фиксированной частоте источника напряжения) или частоты источника (при фиксированных параметрах и ).

а)

_б)

Рис. 7.5

Зависимости тока в контуре и напряжений на индуктивности и емкости от или при заданной частоте называются настроечными кривыми.

На рис. 7.5 показаны кривые тока в зависимости от и . Они построены по формуле:

При =0 ток равен:

При ток достигает максимального значения , и по мере увеличения ток спадает, стремясь к нулю при .

При C=0 ток отсутствует. При ток достигает максимума, а затем с увеличением стремится в пределе к

.

Значения и , получаемые на основании (7.9), не являются экстремальными: максимум напряжения наступает при частоте выше резонансной, а максимум – при частоте ниже резонансной. Более подробно этот вопрос рассмотрен в конце § 7.3.