Часть II Решение задачи на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

1. Постановка задачи (вариант 2s).

Задача на собственные значения:

2. Вывод разностной схемы для уравнения и граничных условий.

Сводим задачу к алгебраической задаче на собственные значения интегро-интерполяционным методом.

Используем приближённую формулу для вычисления интеграла:

И с помощью формулы центральных разностей получаем:

3. В итоге получим разностную схему для задачи на собственные значения.

Система из n+1 алгебраических уравнений:

4. Данная система является 3-х диагональной,приведём подобные члены в уравнениях разностной схемы при -ых:

Таким образом мы свели задачу к обобщённой алгебраической задаче на собственные значения

Элементы нижней диагонали матрицы А - ,

главной диагонали - ,

верхней диагонали - ,

Элементы матрицы (главная диагональ) ,

5. Приведение обобщённой алгебраической задачи на собственные значения к классическому виду. Вид коэффициентов матрицы в классической формулировке.

– классическая задача на собственные значения, но тогда теряется симметричность, так как .Матрица D симметричная и положительно определённая.

Элементы матрицы

Свели обобщённую алгебраическую задачу на собственные значения к классической симметричной задаче.

Элементы нижней диагонали матрицы С - ,

главной диагонали - ,

верхней диагонали - ,

6. Формулировка тестовой задачи для и .

Общее решение данной задачи:

, B=0 в силу ограниченности u(r) при r=0

–уравнение для поиска собственных чисел .

Численно находим и подставляем их в собственные функции тестовой задачи.

– собственные функции.

7. Программа на фортране

1. program Lab1

5. Implicit none

6. include 'link_fnl_static.h'

8. integer i,j

9. integer,parameter :: n=9,n1=n+1,ncoda=1,Lda=2,Ldevec=n1

10. real(8) k,u1,u2,q

11. external k,u1,u2,q

12. real(8) r(n1),c(Lda,n1),delta,d1(n1,n1)

13. real(8) eval(n1),evec(Ldevec,n1)

14. real(8) eps1,nu,h,v(Ldevec,n1),episf,l,l1

16. !Переменные для поиска точных значений с.ч.

17. integer,parameter::nroot=9

18. integer info(nroot),itmax,maxfn

19. real(8) errabs,errrel,m,p,x(nroot),xguess(nroot),eps,eta

20. real(8),external::f

22. nu=0.0

23. h=2.0/n

25. r(1)=0.0

26. do i=2,n1

27. r(i)=r(i-1)+h

28. end do

30. open(1,file='out.dat')

31. write(1,*) "Число узлов : ",n1

32. write(1,*) "Шаг : ",h

33. write(1,*) "Узлы основной сетки : "

34. do i=1,n1

35. !write(1,*) r(i)

36. end do

37. write(1,*)

39. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

41. !Решение задачи при К=1 и q=0

42. !U(r)=sin(r*x**0.5)/r собственные функции

43. !x**0.5=tg(2*x**0.5) уравнение для собственных значений

44. data xguess/-1.0e-6,4,14,30,49.5,74,104,138.2,177.7/ !начальное приближение корней

45. errabs=1.0e-6 !первый критерий завершения вычислений

46. errrel=1.0e-6 !относительная погрешность соседних аппроксимаций

47. eps=1.0e-4 !критерий локализации кратных корней

48. eta=1.0e-4; itmax=1000

49. call dzreal(f,errabs,errrel,eps,eta,nroot,itmax,xguess,x,info)

51. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

53. !Задание матрицы D^(-1/2)

54. d1(1,1)=sqrt((h**3)/24.0)**(-1)

55. do i=2,n

56. d1(i,i)=sqrt(h*r(i)**2)**(-1)

57. end do

58. d1(n1,n1)=sqrt(0.5*h*r(n1)**2)**(-1)

59. write(1,*) "Матрица D^-1/2 :"

60. write(1,*)

61. ! write(1,'(<n1>F6.3)') ((d1(i,j),j=1,n1),i=1,n1)

62. write(1,*)

64. !Задание ленточной матрицы а

65. c(1,1)=0.0

66. c(1,2)=-k(0.5*h)/(h*r(2))*dsqrt(1.5d0)

67. c(2,1)=q(r(1))+6*k(0.5*h)/h**2

68. c(2,2)=q(r(2))+(k(1.5*h)*(1.5*h)**2+k(0.5*h)*(0.5*h)**2)/(h**4)

69. do i=3,n1-1

70. c(1,i)=-(r(i-1)+0.5*h)**2*k(r(i-1)+0.5*h)/(h**2*r(i-1)*r(i))

71. c(2,i)=q(r(i))+(k(r(i)+0.5*h)*(r(i)+0.5*h)**2+k(r(i)-0.5*h)*(r(i)-0.5*h)**2)/(h**2*r(i)**2)

72. end do

73. c(1,n1)=-k(r(n1)-0.5*h)*(r(n1)-0.5*h)**2/(r(n1)*r(n1-1)*h**2)*dsqrt(2.0d0)

74. c(2,n1)=q(r(n1))+2*k(r(n1)-0.5*h)*(r(n1)-0.5*h)**2/(h**2*r(n1)**2)

75. ! write(1,*) " Ленточная матрица с = "

76. ! write(1,*) ((c(j,i),i=1,n1),j=1,2)

78. !evec=(D^1/2)*V , V=D^(-1/2)*evec

79. call DEVCSB(n1,c,Lda,ncoda,eval,evec,Ldevec)

81. v=matmul(d1,evec)

83. ! write(1,*) "Приближённые значения собственных векторов :"

84. ! write(1,'(<n1>F6.2)') ((v(i,j),j=1,n1),i=1,n1)

85. write(1,*)

87. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 c.в.

88. l=0.0

89. do i=1,n1

90. if (i==1) then

91. l=l+sqrt(x(2))

92. else

93. l=l+u1(r(i))

94. end if

95. end do

96. write(1,*) "длина точного св 2 = ",sqrt(l)

97. l1=0.0

98. do i=1,n1

99. l1=l1+v(i,n1-1)

100. end do

101. write(1,*) "длина приближённого св 2 = ",sqrt(l1)

102. write(1,*)

103. write(1,*) "Приближённые и точные значения собственного вектора 2(нормированные) :"

104. do i=1,n1

105. if (i==1) then

106. write(1,*) v(i,n1-1)/l1,sqrt(x(2))/l

107. else

108. write(1,*) v(i,n1-1)/l1,u1(r(i))/l

109. end if

110. end do

111. write(1,*)

112. delta=0.0

113. eps1=0.0 !Чебышевская норма погрешности

114. do i=1,n1

115. eps1=abs(abs(v(i,n1-1))/l1-abs(u1(r(i)))/l)

116. if (eps1>delta) then

117. delta=eps1

118. end if

119. end do

120. write(1,*) "Чебышевская норма погрешности с.в. 2: ",delta

121. write(1,*)

123. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 с.в.

124. l=0.0

125. do i=1,n1

126. if (i==1) then

127. l=l+sqrt(x(3))

128. else

129. l=l+u2(r(i))

130. end if

131. end do

132. write(1,*) "длина точного св 3 = ",sqrt(l)

133. l1=0.0

134. do i=1,n1

135. l1=l1+v(i,n1-2)

136. end do

137. write(1,*) "длина приближённого св 3 = ",sqrt(l1)

138. write(1,*)

139. write(1,*) "Приближённые и точные значения собственного вектора 3(нормированные) :"

140. do i=1,n1

141. if (i==1) then

142. write(1,*) v(i,n1-2)/l1,sqrt(x(3))/l

143. else

144. write(1,*) v(i,n1-2)/l1,u2(r(i))/l

145. end if

146. end do

147. eps1=0.0

148. delta=0.0 !Чебышевская норма погрешности

149. do i=1,n1

150. eps1=abs(abs(v(i,n1-2))/l1-abs(u2(r(i)))/l)

151. if (eps1>delta) then

152. delta=eps1

153. end if

154. end do

155. write(1,*)

156. write(1,*) "Чебышевская норма погрешности с.в. 3: ",delta

158. !!!!!!!!!!!!!!!!!! собственные числа

159. write(1,*)

160. write(1,*) "Приближённые значения собственных чисел 2 и 3 :"

161. write(1,*) eval(n1-1),eval(n1-2)

162. write(1,*)

163. write(1,*) "Точные значения собственных чисел 2 и 3:"

164. write(1,*) x(2),x(3),x(4)

165. write(1,*)

166. write(1,*) "Чебышевская норма погрешности с.ч. 2 и 3: "

167. write(1,'(<n1>F10.7)') abs(x(2)-eval(n1-1))

168. write(1,'(<n1>F10.7)') abs(x(3)-eval(n1-2))

170. close(1)

171. end program Lab1

173. real(8) function k(r)

174. real(8) r

175. !k=r**2+1.0

176. k=1.0

177. return

178. end

180. real(8) function q(r)

181. real(8) r

182. q=0.0

183. return

184. end

186. real(8) function f(r)

187. real(8) r

188. f=2*(r**0.5)-tan(2*(r**0.5))

189. return

190. end

192. real(8) function u1(r)

193. real(8) r

194. u1=sin(sqrt(5.04768211902755)*r)/r

195. return

196. end

198. real(8) function u2(r)

199. real(8) r

200. u2=sin(sqrt(14.9198789860242)*r)/r

201. return

202. end

8. Таблица результатов работы программы на тесте (зависимость погрешности нахождения собственных чисел и собственных векторов от удваивающегося количества разбиений ).N=10

k
1	0.07721	4,862092	0.73783	4,738488
2	0.01588	4,398891	0.15571	4,367742
3	0.00361	4,195722	0.03565	4,178779
4	0.0008604	4,103005	0.0085312	4,090525
5	0.0002097	----	0.0020856	----

Табл. 3

k
1	2.389536663846226E-003	4,035934
2	5.920652929972958E-004	5,116669
3	1.157130234836351E-004	5,771773
4	2.004808880450709E-005	6,212924
5	3.226836412809075E-006	-----

Табл. 4

9. Оценка порядка точности разностной схемы по найденным собственным значениям и собственным функциям по табл. 3 и 4 для тестовой задачи.

Из таблицы 3 видим, что погрешность нахождения первого и второго собственного числа уменьшается примерно в 4 раза при уменьшении шага в 2 раза, т.е. разностная схема имеет 2 порядок аппроксимации по h.

Из таблицы 4 следует, что погрешность нахождения первой собственной функции падает в 4 раза при уменьшении шага разбиения вдвое, следовательно, погрешность аппроксимации имеет второй порядок точности по h

10. Таблица результатов работы программы для нахождения первого собственного числа задачи, выданной преподавателем

1	11.87747	11.95199	0,07452406	-----
2	11.96188	11.96347	0,001877336	0.025191005

Табл. 5

11. Таблица результатов работы программы для нахождения первой собственной функции задачи, выданной преподавателем .

	3.577455	3.584644	3.583691	0,00719	0,001606	4,47774
	3.320092	3.344696	3.344392	0,0246	0,005423	4,53608
	2.703415	2.708077	2.709400	0,00466	0,001029	4,5303
	1.906399	1.907250	1.906724	0,00085	0,000184	4,61597
	1.155452	1.156633	1.156145	0,00118	0,000267	4,41803
	0.561596	0.562676	0.562405	0,00108	0,000217	4,98524
	0.144453	0.144653	0.144435	0,0002	0,0000407	4,91743
	-0.120867	-0.121726	-0.121998	0,000859	0,000207	4,15809
	-0.271689	-0.273364	-0.273708	0,001675	0,000344	4,86919
	-0.342821	-0.344925	-0.345312	0,002104	0,000474	4,43669
	-0.361775	-0.363953	-0.364340	0,002178	0,000471	4,62791

Табл. 6

12. Оценка порядка точности разностной схемы по найденным собственным значениям и собственным функциям по табл. 5 и 6 для задачи, выданной преподавателем.

Из таблицы 5 видно, что погрешность уменьшилась в 40 раз при уменьшении шага в 2 раза. Из таблицы 6 видно, что разностная схема имеет 2 порядок аппроксимации по h,т.к. погрешность уменьшается в среднем в 4 раза при уменьшении шага в 2 раза.

13. Выводы.

Практический результат согласуется с теорией, составленная разностная схема имеет второй порядок точности по h.