Д ля положительной частицы д ля отрицательной частицы Свободные и вынужденные колебания.

Механические колебания

Незатухающие гармонические колебания.

На материальную точку массой m действует только упругая или квазиупругая сила

.

1. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

,

где - циклическая или круговая частота, k – коэффициент упругости (жесткость пружины), m – масса колеблющегося тела.

2. Уравнение незатухающих гармонических колебаний

,

где x(t) – смещение тела в момент времени t; A₀ - амплитуда колебаний; ₀ - круговая или циклическая частота;  - начальная фаза.

3. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

4. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

5. Амплитуда скорости

.

6. Амплитуда ускорения

.

.

7. Период колебаний и циклическая частота .

8. Период колебаний математического маятника

,

где - длина маятника; g - ускорение свободного падения.

9. Период колебаний пружинного маятника

,

где m - масса груза; k - коэффициент упругости пружины.

10. Период колебаний физического маятника

,

где m - масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс; I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Затухающие гармонические колебания

На материальную точку массой m, кроме упругой силы , действует еще сила трения , где η - коэффициент вязкого трения и v - скорость колеблющейся точки.

1. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

,

где - циклическая или круговая частота, - коэффициент затухания, - коэффициент вязкости (внутреннего трения), k – коэффициент упругости (жесткость пружины), m – масса колеблющегося тела.

2 . Уравнение затухающих колебаний

,

где , а - круговая частота собственных незатухающих колебаний,

 - начальная фаза.

3.Период затухающих колебаний

.

4. Логарифмический декремент затухания

.

5. Добротность

,

где N_e – число полных колебаний за время в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Вынужденные колебания

На материальную точку массой m, кроме упругой силы и силы трения , действует внешняя периодическая сила .

1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

,

где - циклическая или круговая частота, - коэффициент затухания, - коэффициент вязкости (внутреннего трения), k – коэффициент упругости (жесткость пружины), m – масса колеблющегося тела, - нормированная амплитуда вынуждающей силы, F₀ – амплитуда вынуждающей силы, - частота вынуждающей силы.

2. На начальном этапе - колебания происходят на частоте затухающих колебаний по закону

.

3. В установившемся режиме колебания совершаются на частоте вынуждающей силы по закону:

,

г де

-

- амплитуда вынужденных колебаний.

4. Резонанс – это колебания с максимальной амплитудой. Частота на которой наблюдается резонанс называется резонансной частотой равной

.

5 . Чем больше коэффициент затухания, тем меньше резонансная частота (см. рисунок)

6. При слабом затухании β≈0

.

7. Начальная фаза вынужденных колебаний

.

Как и амплитуда, начальная фаза является функцией частоты вынуждающей силы (см. рисунок).

8. При слабом затухании β≈0 фаза скачком изменяется на π.

Электромагнитные колебания

Незатухающие электромагнитные колебания.

В озникают в электромагнитном контуре, содержащем катушку индуктивности (L) и конденсатор (C).

1. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

,

где круговая или циклическая частота.

2. Уравнение гармонических колебаний заряда на обкладках конденсатора

,

где - амплитудное значение заряда; , где - период колебаний (формула Томсона), где L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.

3. Уравнения изменения со временем тока (i) в колебательном контуре и напряжения (u) на обкладках конденсатора:

;

.

3. Энергия магнитного и электрического полей в момент времени t

;

.

4. Полная энергия колебательного контура:

.

Затухающие электромагнитные колебания.

В озникают в электромагнитном контуре, содержащем резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C).

1. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний

,

где собственная частота, - коэффициент затухания, R –сопротивление контура, L – индуктивность контура.

2. Уравнение затухающих колебаний:

,

где - заряд на обкладке конденсатора в начальный момент времени t=0,  - частота затухающих колебаний . Если активное сопротивление контура , т.е. - колебания будут незатухающими.

3 . Период затухающих колебаний

.

4. Логарифмический декремент затухания

.

5. Добротность

,

где N_e – число полных колебаний за время в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Вынужденные электромагнитные колебания

В озникают в электромагнитном контуре, содержащем: резистор (R); катушку индуктивности (L); конденсатор (C), если в контуре действует периодическая ЭДС (напряжение)

.

1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

.

2. Общее решение - затухающие колебания

.

3. Частное решение

,

где амплитуда и начальная фаза установившихся вынужденных колебаний равны:

;

.

4. Через параметры контура

,

.

5. Сила тока в контуре при установившихся колебаниях

или

,

где - сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением.

.

6. Ток отстает по фазе от напряжения ( ) в том случае, когда .

7. Ток опережает напряжение ( ) при условии: .

8. Амплитуда тока в контуре

.

9. Запишем закон Ома для замкнутой цепи (контура) в виде

.

• п роизведение IR - напряжение на активном сопротивлении,

• дробь - напряжение на конденсаторе ,

• выражение - напряжение на индуктивности .

10. Учитывая это запишем

.

Сумма напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна напряжению, приложенному извне.

.

.

Здесь

.

.

Здесь

.

Выводы:

• напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на ,

• напряжение на индуктивности опережает ток на .

• напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током.

Ф азовые соотношения представим на векторной диаграмме.

Гармоническое колебание (или гармоническую функцию) можно задать вектором, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебания. В качестве направления выберем ось токов, от которого отсчитывается начальная фаза.

Диаграмма изображена на рисунке.

Три функции , и в сумме должны быть равны приложенному напряжению U. Это напряжение U изображается на диаграмме вектором, равным сумме векторов , и .

Резонансная частота для заряда q и напряжения на конденсаторе равна

.

Р езонансные кривые для заряда q (для напряжения U_C имеют такой же вид). При низких частотах резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой q_m – зарядом на обкладке конденсатора при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше (меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура).

Р езонансные кривые для силы тока. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура :

.

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси , равен нулю. При постоянном напряжении ток в цепи с конденсатором течь не может. При малом затухании резонансную частоту для напряжения можно положить равной . Поэтому можно считать, что .

Отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения будет в этом случае равно

.

Здесь Q - добротность контура.

Добротность контура показывает - во сколько раз напряжение на конденсаторе превышает приложенное напряжение.

Добротность контура определяет также остроту резонансных кривых.

На рисунке показана одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. По вертикальной оси отложены не значения , соответствующие данной частоте, а отношение к току (т.е. к при резонансе). Рассмотрим ширину кривой , взятую на высоте 0,7 (такому отношению амплитуд токов соответствует отношение м ощностей, равное ).

Отношение этой ширины к резонансной частоте равно величине, обратной добротности контура:

.

Две последние формулы верны при больших значениях Q. В случае, когда затухание свободных колебаний в контуре мало.

Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно:

Настроив контур на одну из частот , и т.д. (подобрав соответствующим образом параметры контура: С и L), можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.