Приближенное вычисление малых приращений функции

Если мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции ее приращение отличается от дифференциала на величину бесконечно малую относительно Отсюда имеем приближенное равенство:

Пример. Найти

Полагая в формуле (4): будем иметь

По таблицам же находим

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.

Задача. Для данной функции предельная абсолютная погрешность ее аргумента равна т.е. Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности функции

Из формулы (4) имеем следовательно, при можно принять и

Пример. Угол определен с точностью до Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Здесь Поэтому ошибка для на основании формулы (5), где может достигать величины

Свойства дифференциалов

Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной, так как умножив последнюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют силу и для дифференциалов.

1.Дифференциал постоянной равен нулю.

Полагая в формуле (3) и получим

2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

3. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

4. Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

5. Дифференциал произведения.

6. Дифференциал частного.

7. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть . Положим и, следовательно, Если и - дифференцируемые функции, то

или

Из последней формулы следует такое свойство дифференциала.

8. Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

На основе формул для производных, можно получить соответствующие формулы для дифференциалов.

Например, и т.д.

Дифференциалы высших порядков

Пусть - независимая переменная и есть дифференцируемая функция.

Таким образом, - функция от и

В дальнейшем будем предполагать, что имеет произвольное , но фиксированное значение, независящее от независимой переменной и одно и то же для всех рассматриваемых функций. Если фиксировано, то есть некоторая функция от пропорциональная с коэффициентом пропорциональности, равным Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал (для этого достаточно, чтобы существовала в таком случае последний называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции а дифференциал, определяемый формулой носит более точное название дифференциала первого порядка (или первого дифференциала). Итак, дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е. Аналогично вводится дифференциал третьего порядка Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем теперь формулу для дифференциала второго порядка.

Если - независимая переменная, то не зависит от т.е. по отношению к переменной играет роль постоянной. Поэтому

Итак,

Полагая можно написать или

Если - независимая переменная, то по аналогии

и т.д.

Если - зависимая переменная, то не является постоянной по отношению к поэтому