Теорема 1 о достаточных условиях существования экстремума
Пусть функция
непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку первого
рода
и дифференцируема во всех точках этого
интервала (кроме, быть может, самой точки
Если при переходе слева направо через
эту точку производная меняет знак с
плюса на минус, то при
функция имеет максимум. Если же при
переходе через точку
слева направо производная меняет знак
с минуса на плюс, то функция имеет в этой
точке минимум.
Таким образом,
если
то в точке функция имеет максимум;
если
то в точке функция имеет минимум.
При этом надо иметь
ввиду, что условия
должны выполняться для всех значений
достаточно близких к
т.е. во всех точках некоторой достаточно
малой окрестности критической точки
Доказательство.
Предположим сначала, что производная
меняет знак с плюса на минус, т.е.
выполняются условия
Применяя теорему Лагранжа к разности
получим
где ξ есть точка,
лежащая между
1) Пусть
тогда
и, следовательно,
2) Пусть
тогда
и,
следовательно,
(1) и (2) показывают, что для всех значений достаточно близких к значения функции меньше, чем значения функции в точке Следовательно, в точке функция имеет максимум.
Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточных условиях минимума.
П
роиллюстрируем
смысл теоремы 1 на рисунке. В точке
и для
достаточно близких к
выполняется условие
значит в точке
-
максимум. В точке
и для
достаточно близких к
выполняется условие
значит в точке
- минимум. В точке
и для всех значений
достаточно близких к
выполняются неравенства
Значит функция
возрастает как при
так и при
Следовательно, при
функция не имеет ни максимума, ни
минимума.
Теорема 2 о достаточных условиях существования экстремума
Если для
дифференцируемой функции
в некоторой точке
ее первая производная
равна нулю, а вторая производная
существует и отлична от нуля, т.е.
то в этой точке функция
имеет экстремум, а именно:
1) если
то
- минимум функции
и
2) если
то
- максимум функции
Доказательство.
1) Пусть
Пусть
- точка, близкая к
Так как
есть производная от
то
(здесь мы воспользовались тем, что
Таким образом, переменная величина
стремится к пределу
а значит в некоторой окрестности точки
эта величина имеет знак своего предела
(на основании теоремы о сохранении знака
функции), т.е. в нашем случае знак плюс.
Поэтому
при
Отсюда получаем, что числитель и
знаменатель дроби
имеют одинаковые знаки и, следовательно,
и
Мы видим, что производная при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. На основании теоремы 1 число есть минимум функции
2) Аналогично
доказывается, что если
то
- максимум функции
Для запоминания
связи между знаком второй производной
и максимумом и минимумом функции можно
использовать так называемое
правило
дождя
.
Лекция 3