Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Теорема. Функция нескольких переменных, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и наибольшего значений либо в критических точках функции, принадлежащих этой области, либо в граничных точках области. (Без доказательства).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области необходимо:

1. Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции. При этом нет необходимости исследовать функцию на экстремум с помощью частных производных второго порядка.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. Для функции граница состоит из нескольких дуг или отрезков, уравнения которых где или где поэтому на соответствующих дугах или отрезках границы данная функция является функцией одной переменной: или

Если граница задана параметрическими уравнениями:

то данная функция также превращается в функцию одной переменной:

Итак, нахождение наибольшего и наименьшего значений на границе области для функции двух переменных сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке.

3. Сравнить все значения функции: самое большое будет наибольшим значением функции в данной области, самое маленькое – наименьшим.

Условные экстремумы функции нескольких переменных

До сих пор мы рассматривали максимумы и минимумы функции нескольких переменных, предполагая, что те переменные, от которых функция зависит, являются независимыми переменными. В подобных случаях экстремумы называются абсолютными.

Но бывают также и такие задачи, когда переменные, от которых зависит функция, связаны некоторыми соотношениями. В подобных случаях экстремумы называются условными (или относительными).

Задачи об отыскании условных экстремумов можно решать двумя способами.

Первый способ.

Задачи об отыскании условных экстремумов можно решать путем сведения их к задачам об отыскании абсолютных экстремумов функций, зависящих от меньшего числа переменных.

Суть этого метода на примере функции двух переменных, связанных одним условием, состоит в следующем.

Пусть требуется найти условные экстремумы функции

При условии, что и связаны уравнением

При наличии условия из двух переменных и независимыми будет только одно, например так как определяется из равенства как функция от Разрешив уравнение относительно и вставив в равенство вместо найденное выражение, мы получим функцию одного переменного которую надо исследовать на абсолютный экстремум.

Этот метод можно применять и при исследовании на условные экстремумы функции от большего числа переменных, например , связанных несколькими уравнениями, например Разрешая систему уравнений относительно каких-либо переменных и подставляя эти выражения в функцию получим функцию от независимых переменных и придем к задаче отыскания абсолютных экстремумов функции, зависящей от переменных.

Но такое разрешение системы уравнений часто бывает практически затруднительным и даже невыполнимым, поэтому был разработан другой метод решения этой задачи, который мы сейчас и рассмотрим