Экстремумы функции нескольких переменных

Функция имеет максимум в точке если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Функция имеет минимум в точке если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Из этих определений следует, что максимум и минимум функции нескольких переменных может достигаться лишь во внутренних точках области ее определения. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т.е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Пример. Функция достигает минимума в точке Действительно, а так как при то

Теорема 1 (о необходимых условиях экстремума).

Если функция достигает экстремума при то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Доказательство. Действительно, дадим переменному определенное значение, именно Тогда функция будет функцией одного переменного Так как при она имеет экстремум, то , следовательно, или равно нулю, или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что или равно нулю, или не существует. Что и требовалось доказать.

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции.

Точки, в которых (или не существует) и (или не существует), называются критическими точками функции

Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке.

Для исследования функции в критических точках существуют достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 2 (о достаточных условиях экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции т.е.

Тогда достаточные условия экстремума для функции выражаются с помощью определителя где

а именно:

1) если то точка экстремума:

при точка максимума,

при точка минимума,

2) если то в точке нет экстремума,

3) если то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование функции, например, по знаку приращения функции вблизи этой точки).

Эту теорему примем без доказательства.

Свойства функции нескольких переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области

Свойство 1. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области то в области найдется по крайней мере одна точка такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение и по крайней мере одна точка такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

Значение функции будем называть наибольшим значением функции в области а значение наименьшим значением.

Свойство 2. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области и если и наибольшее и наименьшее значения функции в области, то для любого числа удовлетворяющего условию найдется в области такая точка что будет выполняться равенство

Следствие свойства 2. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдется по крайней мере одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Лекция 27.