Теорема о достаточном признаке возрастания (убывания) функции

1) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

2) Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Доказательство. 1) Пусть дифференцируемая функция такова, что при Для любых двух значений в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях имеем где ξ – промежуточное значение между и, следовательно, лежащее в так как и то отсюда получим или Следовательно, функция возрастает на отрезке

2) Доказательство второй части этой теоремы совершенно аналогично доказательству первой ее части (провести самим!).

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной. Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.

Пример. Определить промежутки монотонности функции

Производная равна при имеем - функция возрастает; при имеем - функция убывает.

Экстремум функции

При значении аргумента функция имеет максимум если в некоторой окрестности точки (возможно весьма малой) выполнено неравенство

Аналогично, при значении аргумента функция имеет минимум если в некоторой окрестности точки (возможно весьма малой) имеет место неравенство

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции (или экстремальным значением функции). А те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума функции). Из определения следует, что экстремум функции, вообще говоря, имеет локальный характер - это наибольшее или наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями ее. Минимум функции может быть больше максимума - подобно тому, как впадина в горах может иметь бóльшую отметку над уровнем моря, чем небольшая вершина. На рисунке при и - максимумы, при и - минимумы. Минимум при больше максимума при Из определения максимума и минимума следует: 1) Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях заключенных внутри рассматриваемого отрезка. 2) Максимум и минимум функции могут быть, а могут и не быть наибольшим и наименьшим значениями функции на рассматриваемом отрезке. На рисунке наибольшее значение функция принимает в точке а наименьшее в точке

Теорема о необходимом условии экстремума функции

В точке экстремума дифференцируемой функции производная этой функции равна нулю.

Доказательство. Пусть для определенности есть точка минимума функции Следовательно, если достаточно мало по абсолютной величине. Отсюда

если ,

если

Переходя в этих неравенствах к пределу при получим

если

если

Т ак как значение производной не должно зависеть от способа стремления к нулю, то отсюда следует , что Теорема доказана. Аналогичным образом теорема доказывается и для случая максимума функции (доказать самим).

Геометрически условие обозначает, что в точке

касательная к графику функции параллельна оси

Следствие из теоремы.

Если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. Например, функция при имеет производную, равную нулю: но в этой точке функция не имеет экстремума

Мы исследовали случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Покажем сейчас на примерах, что в точках, где производная не существует, может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

Пример 1. Функция не имеет производной в точке но в этой точке данная функция имеет минимум: тогда как для всякой точки отличной от нуля, имеем

Пример 2. Функция не имеет производной при В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума:

Таким образом функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.

Те значения аргумента которые для данной функции обращают в нуль ее производную или для которых производная не существует, называются критическими значениями аргумента или критическими точками первого рода.