Несобственные интегралы от разрывных функций
Пусть функция
определена и непрерывна при
а при
терпит разрыв. Тогда
Если предел, стоящий справа существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то – расходящимся.
Аналогично,
если
определена и непрерывна при
а при
терпит разрыв, то
Если
имеет разрыв в какой-нибудь промежуточной
точке
отрезка
то по определению
Если оба интеграла
в правой части сходятся, то сходится и
интеграл
этот
интеграл расходится, если расходится
хотя бы один из интегралов справа.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Вычислим каждый интеграл отдельно.
.
Следовательно,
расходится.
Е
сли
бы мы стали вычислять данный интеграл,
не обращая внимания на разрыв
подынтегральной функции в точке
то получили бы неверный результат:
что невозможно.
Если определенная на имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва то
если каждый из несобственных интегралов в правой части сходится. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и тоже расходится.
Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичные тем, которые были для оценки интегралов с бесконечными пределами.
Теорема 1. Если на
функции
и
разрывны только в точке
причем во всех точках этого отрезка
выполнены неравенства
и
сходится, то
также сходится, причем
Теорема 2. Если на
функции
и
разрывны только в точке
причем во всех точках этого отрезка
выполнены неравенства
и
расходится, то и
расходится.
Теорема 3. Если
знакопеременная функция на
разрывная только в точке
и
сходится, то сходится и
причем говорят, что он сходится абсолютно.
Пример. Сходится
ли
сходится.
Следовательно,
тоже сходится, причем он
Ряды
Лекция 19.
Числовые ряды
Пусть задана
бесконечная последовательность чисел
Выражение
называется числовым
рядом (или просто рядом). При этом числа
называются членами ряда.
Сумма конечного
числа
первых членов ряда называется
й
частичной суммой ряда:
Рассмотрим частичные суммы:
Если существует
конечный предел
последовательности
т.е.
то
его называют суммой ряда
и говорят, что ряд сходится.
Если
не существует
например,
при
то говорят, что ряд
расходится и суммы не имеет.
Пример.
Это ряд, составленный
из членов геометрической прогрессии с
первым членом
и знаменателем
Сумма
первых членов геометрической прогрессии
равна
при
1) Если
то
при
и, следовательно,
Значит в этом
случае ряд
сходится и его сумма
2) Если
то
при
и тогда
не существует. Таким образом, в этом
случае ряд
расходится.
3) Если
то ряд
имеет вид:
т.е.
ряд расходится.
4) Если
то ряд
имеет вид:
В этом случае
при
четном,
при
нечетном.
Следовательно, предела не имеет, ряд расходится.