О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
Мы уже отмечали, что всякая функция непрерывная на интервале имеет на этом интервале первообразную. Однако, не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции.
Таковы, например, первообразные, выраженные интегралами:
Во всех подобных
случаях первообразная представляет
собой, очевидно, некоторую новую функцию,
которая не сводится к комбинации
конечного числа элементарных функций.
Эти новые функции стали называть
специальными функциями. Такова, например,
функция Лапласа
Она встретится в теории вероятностей,
которая будет изучаться в третьем
семестре. Для многих специальных функций
составлены таблицы значений при различных
значениях
Определенный интеграл
Лекция 15.
Определенный интеграл – одно из основных понятий современной математики. К этому понятию приводят, например, задачи о площади криволинейной трапеции и о вычислении длины пути по заданной скорости.
Задача о площади криволинейной трапеции
Пусть на
задана непрерывная функция
Попытаемся вычислить площадь криволинейной
трапеции – фигуры, ограниченной сверху
графиком функции
слева и справа – отрезками прямых
и
снизу – осью
Разобьем произвольным образом при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек
на
элементарных отрезков
длины которых
обозначим через
Проведем ординаты,
соответствующие точкам деления, тогда
криволинейная трапеция разобьется на
ряд полосок. В каждом из элементарных
отрезков
выберем произвольно точку
и вычислим в ней значение данной функции
Произведение
выражает площадь прямоугольника с
основанием
и высотой
Составим сумму всех таких произведений
Эта сумма называется
интегральной суммой ( или суммой Римана
) для функции
на отрезке
Она выражает площадь ступенчатой
фигуры, состоящей из прямоугольников
и приближенно заменяющей данную трапецию.
Очевидно, интегральная сумма (1) зависит
от способа разбиения и выбора точек
Введем понятие
предела интегральной суммы. Число
называется пределом интегральной суммы
(1) при
если
такое, что
для любого
разбиения
из
независимо от выбора точек
на отрезках
Предположим, что рассматриваемая сумма имеет предел, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю; этот предел дает площадь криволинейной трапеции и называется определенным интегралом от функции на отрезке Обозначение
называется
подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением,
- переменной интегрирования,
- нижним пределом интегрирования,
-
верхним пределом интегрирования.
Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
Функция, для которой существует предел (2), называется интегрируемой на отрезке
Из рассмотренной задачи становится ясным геометрический смысл определенного интеграла – он равен площади соответствующей криволинейной трапеции.