Интегралы от иррациональных функций

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Рассмотрим некоторые иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1. Рассмотрим интеграл

где рациональная функция своих аргументов, т.е. над величинами производятся только рациональные операции.

Пусть общий знаменатель дробей Сделаем подстановку:

Тогда каждая дробная степень выразится через целую степень и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от

Пример. Общий знаменатель дробей есть , поэтому

2. Рассмотрим интеграл

Этот интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки где общий знаменатель дробей .

Интегрирование биномиальных дифференциалов

Биномиальным дифференциалом (или дифференциальным биномом) называют выражение вида где и любые постоянные, а показатели степеней и некоторые рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях биномиальных дифференциалов. Отметим три случая, когда интеграл от биномиального дифференциала допускает рационализирующую подстановку.

1. целое число. В этом случае биномиальный дифференциал представляет собой иррациональность вида рассмотренную выше. Если через обозначить общий знаменатель дробей и то интеграл от биномиального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой

2. целое число. В этом случае, сделав подстановку

будем иметь

Таким образом, если целое число, то получили иррациональность вида рассмотренную выше. Если через обозначить знаменатель рационального числа то правая часть выражения рационализируется подстановкой следовательно, интеграл от биномиального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой

3. целое число. Интеграл перепишем еще так:

Таким образом, если целое число, то получили снова иррациональность вида Если попрежнему знаменатель рационального числа то интеграл рационализируется подстановкой следовательно, интеграл от биномиального дифференциала в этом случае рационализируется подстановкой:

Итак, интеграл от биномиального дифференциала допускает рационализирующую подстановку, если оказывается целым одно из чисел:

Эти случаи интегрируемости известны были еще Ньютону. Однако, лишь в середине XIX столетия Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в элементарных функциях для биномиальных дифференциалов нет.

Пример.

Здесь: т.к. то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что знаменатель равен положим

Интеграл вида (подстановки Эйлера)

Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

1. Первая подстановка Эйлера.

Если то

Перед для определенности возьмем знак +.

также будет выражаться рационально через

т.е. оказывается рациональной функцией от

Так как и выражаются рационально через то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от

Пример. Полагаем

2. Вторая подстановка Эйлера.

Если то

Перед для определенности возьмем знак +.

Так как и тоже выражаются рационально через то, подставляя значения и в сведем этот интеграл к интегралу от рациональной функции от

3. Третья подстановка Эйлера.

Пусть и действительные корни трехчлена

Полагаем

Так как то

Так как рационально зависят от то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от

Эта подстановка Эйлера применима как для так и для лишь бы многочлен имел два действительных корня.

Лекция 14.