Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Непосредственное интегрирование

В таблице неопределенных интегралов предполагалось, что есть независимая переменная. Однако, эта таблица полностью сохраняет свое значение, если под понимать любую дифференцируемую функцию от независимой переменной.

В самом деле, пусть есть независимая переменная, - некоторая непрерывная функция на данном промежутке и – ее первообразная, т.е. Имеем

Пусть - дифференцируемая функция . В силу инвариантности формы первого дифференциала

откуда

.

Итак, из справедливости формулы (1) следует справедливость формулы (2), которая получается из первой формулы формальной заменой на На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов:

и т.д.,

где -любая дифференцируемая функция .

Пример. .

Заменяя на получим:

Отсюда становится понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение к виду: где есть некоторая функция от и - функция более простая для интегрирования, чем

Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего:

1) где - постоянная величина

2) где постоянная

3)

4)

5)

Вообще

Пользуясь этими преобразованиями дифференциалов, найдем некоторые неопределенные интегралы. Такой способ интегрирования называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Лекция 8.

Основные методы интегрирования

Для вычисления данного интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или иными способами, привести его к табличным интегралам и таким образом найти искомый результат. Рассмотрим основные методы интегрирования.

1. Метод разложения.

Пусть

Тогда на основании четвертого свойства неопределенного интеграла имеем

По возможности слагаемые и стараются подобрать так, чтобы интегралы от них находились непосредственно.

Пример 1.

Нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2.

Пример 3.

2.Метод подстановки.

Пусть требуется найти интеграл причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует. Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

где – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо будет подставлено его выражение через на основании равенства (1). Для того, чтобы установить, что выражения, стоящие в формуле (2) справа и слева, равны с точностью до произвольной постоянной, нужно доказать, что их производные по равны между собой.

Находим производную от левой части:

Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по как сложную функцию, где - промежуточный аргумент. Зависимость от выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции Таким образом имеем:

Что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2). Иногда целесообразнее подбирать замену переменного не в виде , а

Пример 1.

Сделаем подстановку тогда и, следовательно,

Пример 2.

Сделаем подстановку тогда