6.2. Векторное пространство над конечными полями.

Пусть – конечное поле, элементы которого будем называть скалярами. Тогда

Векторным пространством над полем называется множество элементов (векторов), замкнутое относительно двух операций: сложения векторов и умножения вектора на скаляр, обозначаемых привычными символами «+» и «•», т.е. если , то .

Операции сложения и умножения удовлетворяют следующим аксиомам:

1. Сложение коммутативно и ассоциативно:

;

2. Существует нулевой (нейтральный) вектор по сложению, не изменяющий любой вектор, сложенный с ним:

;

3. Для любого вектора существует единственный противоположный (обратный) вектор такой, что:

;

4. Умножение на скаляр ассоциативно:

;

5. Умножение любого вектора на единичный скаляр (всегда существующий в ) не меняет его значения:

;

6. Выполняется дистрибутивный закон

.

Модель векторного пространства, используемая в теории кодирования, есть ничто иное, как пространство –мерных векторов (кодовых слов) с компонентами, принадлежащими заданному конечному полю: . Операции с векторами в этом пространстве выполняются по следующим простым правилам:

и ,

где сложение и умножение скаляров осуществляется в соответствии с правилами поля . Пространство такого типа может содержать до векторов. В двоичном пространстве максимальное число векторов не превосходит величины и согласно правилам поля

Пусть в пространстве имеется набор из векторов . Эти вектора называются линейно зависимыми, если хотя один представим в виде линейной комбинацией других

,

где все – скалярные коэффициенты. Напротив, если ни один из векторов не является линейной комбинацией других, то вектора называются линейно независимыми.

Максимальное число линейно независимых векторов в данном пространстве называется размерностью пространства (пространство размерности также называют –мерным). Любое множество линейно независимых векторов в –мерном пространстве образует его базис. Если – базис пространства , то любой вектор может быть получен в виде линейной комбинации :

,

где – компоненты или координаты в базисе , а само выше приведенное соотношение называют представлением в базисе .

Если в векторном пространстве существует подмножество , являющееся пространством над полем с такими же операциями сложения векторов и умножения на скаляр, то называется подпространством .

6.3. Линейные коды. Порождающая матрица линейного кода.

Рассмотрим множество , состоящее из всех возможных –компонентных векторов , элементы которого . Очевидно, что образует –мерное векторное пространство. Выберем в этом пространстве линейно независимых векторов , что всегда возможно, поскольку в –мерном пространстве всегда существуют линейно независимых векторов. Построим множество , содержащее векторов, образованных как линейная комбинация вида:

.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что множество замкнуто по сложению векторов и умножению их на скаляр из , и, следовательно, является векторным пространством, т.е. подпространством . Это подпространство имеет размерность и непосредственно является той конструкцией, которую назовем линейным кодом.

Двоичным линейным кодом является любое –мерное подпространство пространства векторов длины .

Поскольку подпространство содержит кодовых слов, то есть ни что иное, как число информационных символов, переносимых кодом, а – длина кода. Наряду с обозначением кода как код, встречается и другое, в котором используется еще один его параметр – кодовое расстояние: .

Построим матрицу размерности , строками которой служат вектора :

. (6.1)

Представив информационное сообщение в виде –компонентного вектора , произвольное слово линейного кода с учетом (6.1) может быть записано в виде

. (6.2)

Как можно видеть из (6.2), кодовое слово представляет собой результат произведения информационного вектора на матрицу , которую по этой причине называют порождающей матрицей линейного кода. Порождающая матрица используется для компактного описания линейного кода. Например, для задания (100,50) двоичного линейного кода путем перечисления всех его слов требуется бит, а с помощью порождающей матрицы – бит.

Следует особо подчеркнуть, что:

– любой линейный код содержит нулевое кодовое слово ;

– любая сумма слов линейного кода вновь дает кодовое слово, принадлежащее данному коду: если , то .

Теорема 6.3.1. Минимальное расстояние линейного кода равно наименьшему из весов ненулевых слов кода:

.

Доказательство: Согласно определению кодового расстояния и с учетом последних замечаний имеем

.

Данная теорема объясняет большую популярность линейных кодов, поскольку для определения кодового расстояния достаточно определить веса ненулевых векторов, а не осуществлять перебор пар кодовых слов.

Любой линейный код всегда может быть преобразован в эквивалентный (т.е. обладающий аналогичными параметрами ), которому отвечает каноническая (стандартная) порождающая матрица

, (6.3)

где – единичная матрица, а – матрица размерности . Использование канонической порождающей матрицы (6.3) позволяет построить систематический линейный код, в котором информационные символы занимают первые позиций кодовых слов:

, (6.4)

где – проверочные символы кодового слова.