22. Графический метод решения задачи линейного программирования с п неизвестными.

Пусть задача в канонической форме имеет n переменных и m ограничений. Задача может быть решена графическим методом, если n–m≤3, когда все уравнения системы линейно независимы или в общем случае, если n–r≤3, где r – кол-во линейно независимых ур-й, или ранг матрицы, состоящей из коэффициентов при переменных в уравнениях системы ограничений. Алгоритм графического метода

1. Проверяется находится ли исходная ЗЛП в стандартной форме, если нет, то задачу необходимо преобразовать к стандартной форме.

2. Опр-ся кол-во неизвестных переменных. Если это кол-во больше 3, то задача не может быть решена графическим методом. Сущ. др. эффективные методы реш-я таких задач.

3. Строится ОДЗ переменных для ЗЛП.

4. Строится направляющий вектор c .

5. Перпендикулярно направляющему вектору через ОДЗ проводится исходная изоцель.

6. Проводится мысленное перемещение исходной изоцели в направлении вектора c , если опре-ся максимальное значение целевой функции или в противоположном направлении, если опр-ся её минимальное значение, до тех пор, пока изоцель не станет опорной к ОДЗ. Точки пересечения опорной изоцели и ОДЗ и будут оптимальными точками задачи.

7. Для опр-я координат оптимальной точки, необходимо решить систему соответствующих линейных уравнений.

8. Для нахождения оптимального значения целевой функции, необходимо оптимальные значения переменных подставить в целевую функцию и вычислить её значение.

23. Формы задачи линейного программирования. Переход от одной формы к другой.

ЗЛП может находиться в одной из следу. форм: общей, стандартной или канонической.

Общая форма. В такой форме все элемены мат-й модели могут принимать любое возможное сост-е:

1. Целевая ф-ция может быть как на макс-мум так и на мин.

2. Ограничения задачи. Одни огранич. – в виде нестрогих нерав-в, а др. в виде ур-й.

3. Условие неотрицательности. Одни переменные могут быть неотрицательными, др. – неположительными, а третьи принимать любые значения.

Стандартная форма. Отличается от общей тем, что все ограничения представлены в виде нер-в.

Каноническая форма. В этой форме все эелементы модели (почти) должны быть строго определены.

1. Целевая ф-ция. Она должна быть на нахождение мин-го знач-я. Однако некот-е авторы считают, что в канонической форме целевая ф-ция должна быть на нах-е макс-го зн-я.

2. В канонической форме все ограничения должны быть в виде ур-я.

3. Условия неотрицательности должны накладываться на все переменные.

Для перехода от общей или стандартной формы к канонической используют следующие приёмы.

1. Преобразование переменных. Если какая-то переменная хk неположительная (хk ≤ 0), то вводят новую переменную xk′ такую, что xk′=-хk. Очевидно, что xk′ ≥ 0. После чего в каждом ограничении и целевой функции переменную хk заменяют на [-xk′].

Если какая-то переменная хt может принимать любые значения, то её заменяют разностью двух неотриц-х переменных xt′ и xt′′, т.е. полагают, что хt = xt′ – xt′′, где xt′ ≥ 0 и xt′′ ≥ 0.

2. Преобразование ограничений. Если какое–либо из ограничений имеет вид нерав-ва, то оно преобразуется в ур-е прибавлением (нер-во имеет тип ≤) к его левой части некоторой доп-й неотрицательной переменной или вычитанием (нер-во имеет тип ≥) такой переменной из его левой части. Эти переменные называют балансовыми. Балансовые переменные входят в целевую функцию с коэффициентами нуль.

3. Преобразование целевой функции. Если задана целевая функция на нахождение максимального значения, то вместо задачи z → max, будем рас-сматривать задачу z′ = -z → min. Очевидно, что max z = -min z′.