3. Постановка и математическая модель задачи оптимального планирования.

Модель 1. Задача нахождения опт-го плана выпуска прод.

Эк-я постановка. Пред-тие пр-дит n видов прод. с исп-ем m видов ресурсов. Для пр-ва единицы продукции исп-ся строго опр-е кол-во ресурсов того или иного вида. Ресурсы каждого вида на пред-тии ограничены. Пред-тие получает опр-ю прибыль от реализации единицы прод. Необходимо найти такой план пр-ва продукции, при кот. предприятие получит максимальную общую прибыль.

Матем-кая пост. Введём обозначения заданных параметров:

j – индекс вида продукции, j =1,n;

i – индекс вида ресурсов, i=1,m;

аij–затраты ресурсов i-го вида на пр-во ед-цы прод. j-го вида;

Аi – заданное ограничение на имеющийся объём ресурсов i-го вида;

Рj – прибыль, получаемая от реализации ед. прод. j-го вида.

Введём неизвестные переменные:

xj – объём прод. j–го вида, который планируется произвести.

В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим образом:

z = Р₁x₁ + Р₂x₂ + … + P_nx_n → max; (1)

а₁₁x₁ + а₁₂x₂ +… + а_1nx_n ≤ A₁,

а₂₁x₁ + а₂₂x₂ +… + а_2nx_n ≤ A₂, (2)

…………………………….

a_m1x₁ + а_m2x₂ +…+ а_mnx_n ≤ A_m,

x_j ≥ 0, j = 1,n.

4. Постановка и математическая модель задачи на смеси и соединения

Модель 2. Задача составления рациона.

Эк-я постановка. В некотором фермерском хоз-ве пр-ся откорм животных. Для откорма исп-ся n видов кормов, содержащих m видов питательных веществ. Известно содержание питательных веществ (кальций, фосфор и др.) в единице корма каждого вида. Для полноценного питания животных необходимо потребление питательных веществ не меньше заданных количеств. Известна ст-ть ед. каждого корма. Необходимо опр-ть рацион кормления животных, при кот. общие затраты на откорм будут мин-ми. Мат-кая пост. Введём обозначения заданных параметров:

j – индекс вида кормов, j = 1,n;

i – индекс вида питательных веществ, i = 1,m;

а_ij–содержание i−го питательного в-ва в ед. корма j-го вида;

Аi – необходимое суточное потребление питательного вещества i–го вида;

cj – ст-ть единицы кормов j-го вида.

Введём неизвестные переменные:

хj – планируемый суточный объём кормления животных j-м видом корма. В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим образом:

z = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → min; (1)

а₁₁x₁ + а₁₂x₂ +…+ а_1nx_n ≥ A₁,

а₂₁x₁ + а₂₂x₂ +…+ а_2nx_n ≥ A₂, (2)

…………………………….

a_m1x₁ + а_m2x₂ +…+ а_mnx_n ≥ Am,

xj ≥ 0, j = 1,n

5. Постановка и математическая модель задачи раскроя материалов.

Модель 5. Задача оптим-го раскроя пром-х материалов

Эк-я постановка. На раскрой поступает исходный материал одинакового размера. Его требуется раскроить на заготовки опр-го размера в заданном кол-ве таким образом, чтобы общие кол-во исп-мого исходного мат-ла было мин-м. Матем-кая постановка. Введём обозначения:

i – индекс заготовок, i = 1,m;

j – индекс вариантов раскроя, j = 1,n;

Аi – необходимое количество заготовок i-го типа;

аij – количество заготовок i-го вида при раскрое единицы исходного материала по варианту j.

Введём обозначения неизвестных переменных.

хj- кол-во исходного материала, которое необходимо раскроить по варианту j.

В терминах введённых обозначений данная задача запишется следующим образом:

z = x₁ + x₂ + … +xn → min; (1)

а₁₁x₁ + а₁₂x₂ +…+ а_1nx_n ≥ A₁,

а₂₁x₁ + а₂₂x₂ +…+ а_2nx_n ≥ A₂, (2)

…………………………….

a_m1x₁ + а_m2x₂ +…+ а_mnx_n ≥ A_m,

xj ≥ 0, j = 1,n. (3)

Математическая модель раскроя строится в два этапа.

На 1 этапе пр-ся построение вариантов раскроя, в результате кот. опр-ся: кол-во вариантов n и кол-во заготовок каждого вида аij, получаемых при различных вариантах раскроя.

Построение вариантов раскроя единицы исходного материала осущ-ся в виде следующей таблицы:

№ варианта Заготовка i1 Заготовка i2 . . . Заготовка im

Заготовки располагаются в порядке убывания их размеров. Построение вариантов осущ-ся методом полного перебора. На 2 этапе производится непосредственное построение модели.