4.3.2 Полиномиальное восстановление непрерывных сигналов
Предельный, теоретический путь восстановления непрерывных функций по их дискретным отсчетам дает ряд Котельникова, однако, как уже отмечалось, его применение в системах реального времени невозможно. Поэтому на практике используют иные способы восстановления, например, при помощи полиномов различного порядка.
Приближение нулевого порядка
(ступенчатая аппроксимация). Воспроизводящая
функция для интервала
определяется формулой:
.
Это означает, что восстановленный сигнал кусочно-непрерывен и равен значению исходного сигнала в момент дискретизации. Восстановленное значение не изменяется до следующего момента дискретизации (рисунок 7).
Рисунок 7 – Дискретизация по времени и ступенчатая аппроксимация
Подобный способ восстановления широко используется в цифро-аналоговых преобразователях (ЦАП) и может быть применен и при неравномерной дискретизации.
Максимальная ошибка при восстановлении нулевого порядка для функций, имеющих гладкую производную, определяется соотношением:
.
Приближения старших порядков. Очевидно, что ступенчатая аппроксимация представляет собой полином нулевого порядка и обладает невысокой точностью. В некоторых случаях точность восстановления можно повысить, увеличивая степень воспроизводящего полинома. Например, приближение первого порядка для интервала принимает вид
(рисунок 8):
.
Рисунок 8 – Линейная аппроксимация
Максимальная ошибка восстановления при линейной аппроксимации равна:
.
В качестве примера рассмотрим задачу
определения количества опросов за
период при дискретизации функции
.
Максимальная ошибка восстановления
при этом не должна превышать 0,6 %, то есть
.
При восстановлении нулевого порядка получим:
,
откуда
.
При восстановлении первого порядка получим:
,
откуда
.