5.2. Расчет электрической цепи с несинусоидальными сигналами

Расчет линейной цепи с несинусоидальными источниками основывается на принципе наложения, согласно которому он проводится для каждой из гармонических составляющих в отдельности в следующей последовательности:

1. Заданные несинусоидальные токи, напряжения, ЭДС представляют тригонометрическим рядом (можно использовать имеющиеся, например, в [1] таблицы).

2. Рассчитывают цепь последовательно от действия нулевой, первой и других гармоник, проверяя правильность расчета для каждой из гармоник, подсчетом баланса мощностей, при этом:

, .

3. Записывают результат в виде суммы мгновенных значений всех составляющих (в виде ряда).

4. При необходимости определяют действующее (F), среднее (F_СР), или среднее по модулю ( ) значения несинусоидальных величин, коэффициенты, характеризующие их форму, а также энергетические показатели цепи: активную - Р, реактивную - Q, полную - S мощности и мощность искажения Т (см. 5.4).

ПРИМЕР 5.2. Для цепи по рис. 5.3 с входным напряжением В и параметрами R = 3 Ом, L = 20 мГн, C = 5 мФ,  = 100 рад/с определить:

1. Мгновенные значения выходного напряжения u₂(t);

2. Комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению для первой гармоники ;

3. Входное сопротивление цепи для второй гармоники .

Рис. 5.3

РЕШЕНИЕ: 1. На основании принципа наложения, выходное напряжение u₂(t) определяется в виде ряда (5.1):

,

где - амплитуды гармонических составляющих;

_k - их начальные фазы.

Для нулевой гармоники (постоянной составляющей) имеем:

, , поэтому .

Для первой (основной) гармоники:

Ом; Ом.

Действующее значение напряжения на выходных зажимах (на индуктивности) в комплексной форме:

Закон изменения во времени напряжения первой гармоники:

Для второй гармоники:

; Ом, .

Действующее значение второй гармоники выходного напряжения в комплексной форме:

Закон изменения напряжения второй гармоники:

В.

2. Комплексный коэффициент передачи по напряжению для первой гармоники:

.

3. Входное сопротивление цепи для второй гармоники:

Ом.

3. Особенности измерения несинусоидальных величин

При измерении несинусоидальных сигналов приборами различных измерительных систем следует принимать во внимание:

1. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем показывают действующие значения измеряемых величин;

2. Магнитоэлектрические приборы реагируют на средние значения - постоянные составляющие;

3. Выпрямительные приборы с магнитоэлектрическим механизмом реагируют на средние по модулю значения, а градуируются на действующие, т.е. показывают ;

4. Электронные амплитудные вольтметры реагируют на максимальные значения, а градуируются на действующие, т.е. показывают . При существенных отличиях и измеряемого сигнала от 1,11 и погрешность измерений выпрямительными и электронными приборами велика.

ПРИМЕР 5.3. Определить показания амперметра выпрямительной системы (А), вольтметров магнитоэлектрической (V_R), электромагнитной (V_L) и электронной (V_C) систем, измеряющих напряжения на элементах R = 1 Ом, L = 1 Гн, C = 0,5 Ф в цепи по рис. 5.4, а. В цепи действует источник тока периодической треугольной формы, показанной на рис. 5.4, б.

а б

Рис. 5.4

РЕШЕНИЕ. Амперметры выпрямительной системы, выполненные по двухполупериодной схеме, реагируют на средние по модулю значения измеряемых величин, но градуируются на действующие. Поэтому среднее по модулю значение кривой J(t) следует умножить на 1,1 - коэффициент формы синусоиды.

Для заданной кривой тока среднее по модулю значение:

А

и амперметр, следовательно, покажет I = 11,11 = 1,11 А.

Вольтметры магнитоэлектрической системы регистрируют средние значения за период, т. е. постоянную составляющую. В нашем случае напряжение = R  J(t) имеет среднее значение за период, равное нулю (см. кривую J(t) на рис. 5.4, б). Вольтметр , таким образом, покажет нуль.

Вольтметры электромагнитной системы регистрируют среднеквадратичные (действующие) значения. В данном случае нужно определить действующее значение напряжения = L  di / dt, представляющего собой прямоугольные знакопеременные импульсы, показанные на рис. 5.5, а. Согласно (5.5):

Подставляя численные значения, находим : = 2 B.

Вольтметры электронных систем реагируют на амплитудные значения, но градуируются в действующих, поэтому сначала следует найти максимальное значение напряжения на емкости, а затем поделить его на - коэффициент амплитуды синусоиды. Напряжение на емкости определяется:

,

где ток емкости (ток источника) изменяется по закону:

а б

Рис. 5.5

Подставляя в формулу для u_C(t), находим:

Закон изменения напряжения на емкости показан на рис. 5.5, б. Максимальное значение напряжения достигается при t = 2с (можно найти из условия du_C/dt = 0) и составляет величину:

= 8  2 - 2  2² - 4 = 4 B.

Электронный вольтметр будет показывать: В.