4.3. Две задачи оптимального управления

В теории оптимального управления различают задачи двух типов: программного управления и синтеза. В первой задаче оптимальное управление строится в виде функции времени t для конкретных начальных и конечных условий, если они заданы. Зависимость рассматривается как программа.

Во второй задаче оптимальное управление строится для каждого момента времени t как функция вектора фазовых координат y, т.е. в виде

. (4.17)

Построение такой зависимости является целью задачи синтеза. Значение второй задачи в том, что зависимость дает уравнение обратной связи или оптимального регулятора, замыкающего систему. Она применяется при оптимальном управлении переходным процессом.

Программное управление и управление по обратной связи осуществляются технически по-разному. Первое может осуществляться программным часовым механизмом, по жесткому закону, как функция времени t . Это управление никак не реагирует на возможные отклонения состояний объекта от идеального, желательного. Управление по обратной связи осуществляется при помощи регулятора, который по результатам измерения реального состояния фазовых координат вырабатывает сигнал, согласно которому отклоняется управляющий орган.

Обе задачи взаимосвязаны. Решение одной можно выразить через другое. Однако отметим, что принцип максимума обычно приводит к представлению управления в виде программы, а метод динамического программирования – в виде синтеза.

Значительное развитие получила задача синтеза оптимального управления процессами, описываемыми линейной системой дифференциальных уравнений, при минимизации интегральных квадратичных функционалов. Она называется задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), или задачей А.М.Летова.

4.4. Задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Предположим, уравнения возмущенного движения системы имеют вид

(4.18)

Матрицы , размерности и , соответственно, имеют в качестве своих элементов известные функции .

Предполагается также, что состояние системы (4.18) в каждый момент времени известно.

В качестве критерия оптимальности рассматривается квадратичный функционал Больца

, (4.19)

где - симметричные неотрицательно определенные матрицы, - положительно определенная матрица; * - индекс транспонирования.

Требуется найти оптимальное, минимизирующее функционал (4.19), управление, являющееся функцией текущего состояния .

Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом максимума, но наиболее короткий путь – метод динамического программирования.

В соответствии с этим методом нужно найти функцию ,удовлетворяющую уравнению

(4.20)

В общем случае – это сложная задача, однако для линейных систем с квадратичным критерием оптимальности функцию можно искать в виде некоторой квадратичной формы:

(4.21)

где - есть некоторая, пока неизвестная, квадратичная форма, удовлетворяющая в силу (4.19) конечному условию

(4.22)

Таким образом, для линейных систем задача сводится к отысканию функции . Дифференцируя (4.21) с учетом (4.18) получим

В нашем случае

Тогда

(4,23)

Минимизируя (4.23) по получим

или

(4.24)

Так как , то управление (4.24) действительно доставляет минимум выражению .

Подставляя (4.24) в (4.23), получим

. (4.25)

Квадратичная форма (4.25) равна нулю при любых только в том случае, когда равна нулю матрица, ее образующая. Таким образом, получаем уравнение для определения матрицы

(4.26)

с граничным условием (4.22).

Интегрируя уравнение (4.26) в обратном направлении, получим , а значит и параметры оптимального управления (4.24). Нетрудно показать, что матрица - симметричная матрица. Для этого достаточно транспонировать уравнение (4.26). Тогда

откуда с учетом симметричности матриц следует, что .

Замечание 1. В том случае, когда система (4.18) стационарна (матрицы A и B – числовые матрицы), матрицы - числовые матрицы, (рассматривается установившийся режим). Матрица тоже числовая и удовлетворяет алгебраическому уравнению

Замечание 2. Из выражения (4.24) следует, что для реализации оптимального управления необходима полная и точная информация о состоянии управляемого процесса . В том случае, когда эту информацию получить невозможно, для реализации оптимального управления используются оценки состояния, получаемые на основе имеющейся неполной информации.