4. Плоская система сил.

Частный случай общей поставки задачи.

Пусть все действующие силы лежат в одной плоскости – например, листа. Выберем за центр приведения точку О – в этой же плоскости. Получим результирующую силу  и результирующую пару  в этой же плоскости, то есть  (рис.19)

 

   

Замечание.

Систему можно привести к одной результирующей силе.

Условия равновесия:

 

,  

 

или скалярные:

 

 

Очень часто встречаются в приложениях, например, в сопротивлении материалов.

 

Пример.

 

С трением шара о доску и о плоскость. Условие равновесия: = ?

 

Задача о равновесии несвободного твёрдого тела.

Несвободным называется такое твёрдое тело, перемещение которого стеснено связями. Например, другими телами, шарнирными закреплениями.

При определении условий равновесия: несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменяя связи неизвестными силами реакции.

 

Пример.

Контрольные вопросы:

1. Что называется плоской системой сил?

2. Напишите условия равновесия плоской системы сил.

3. Какое твёрдое тело называется несвободным?

5. Частные случаи равновесия твердого тела.

Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.

 

Доказательство.

Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)

 

Рис.22.

 

То есть плоскости S1 и S2 совпадают, причём для любой точки на оси силы , ч.т.д. (Проще:  в плоскости  только там же для уравновешивания).

 

Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной точкой.

Центр приведения – закреплённая точка (рис.23):

 

Рис.23.

        

Моменты (условия равновесия):

 

 

Для определения реакций => результирующая:

 

;   ;     .

Условия равновесия твёрдого тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.

 

Рис.24.

 

Закреплены две точки О и О1. Центр приведения: точка О (рис.24).

; Rx, Ry, Rz в точке О; R`x, R`y, R`z в точке О1; ОО1 = h.

Уравнения равновесия:

 

 

Положение тела в пространстве определяется одним параметром, например, углом поворота , который определяется из последнего уравнения: . Остальные 5-ть уравнений => нахождение 6-ти проекций реакций связи => задача статически неопределимая. Требуются дополнительные условия деформирования (в сопротивлении материалов).

 

Условия равновесия твёрдого тела, способного перемещаться параллельно неподвижной плоскости (рис.25).

 

Рис.25.

 

Уравнения равновесия:

 

где , , – проекции активных сил, приложенных в точках ( , , ).

Два первых и последнее уравнения – необходимые условия равновесия. Три остальных => реакции, то есть только для закрепления в трёх точках. Иначе => статически неопределимая задача.

 

Случай опоры на три точки.

Для определения реакций имеем:

 

,

где ,

      .

Решение имеется только при условии:

 

,

 

то есть три точки опоры не лежат на одной прямой. Иначе, статическая неопределимость.

 

Пример.

Рис.26.

 

Если дано, что опора упругая                                 =>         .

 

Тогда для реакции:

(удобно взять начало координат в одной из опор).

 

Контрольные вопросы:

1. В каком случае три силы уравновешивают твёрдое тело?

2. Как выглядят условия равновесия тела с одной неподвижной точкой?

3. Напишите уравнения равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси.